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Minitab 22 - Regression - Berechnung der Konfidenzintervalle für die Koeffizienten

  • Erstellt am 9.2.2024
  • Überarbeitet am 9.4.2024
  • Software: Minitab 22, 21
Im Unterdialog Ergebnisse des Dialogs Regressionsmodell anpassen kann ich die Darstellung Ergebnisse mit Erweiterten Tabellen auswählen. Dadurch werden auch Konfidenzintervalle für die Koeffizienten im Ausgabefenster angezeigt. Wie werden diese berechnet?

Bilder

regression_berechnung_der_ki_fuer_die_koeffizienten_01

Erläuterung

Das Konfidenzintervall für einen Koeffizienten wird nach der Formel

Koeffizient ± tα SEKoeffizient

berechnet.

  • tα ist hier der kritische t-Wert, also das 100*(1-α/2)%-Perzentil der t-Verteilung mit DFFehler Freiheitsgraden.
  • α ist das Signifikanzniveau. 100*(1-α) ist das Konfidenzniveau und die Wahrscheinlichkeit, dass der t-Wert, wenn aus einer t-Verteilung entnommen, zwischen dem 100*α/2%- und dem 100*(1-α/2)%-Perzentil der t-Verteilung liegt.
  • DFFehler ist die Anzahl der Freiheitsgrade für den Fehlerterm.
  • SEKoeffizient ist der Standardfehler des Koeffizienten.

Parallelen zum t-Test bei einer Stichprobe

Beim t-Test bei einer Stichprobe ist die Formel für das zweiseitige Konfidenzintervall für den Mittelwert

Koeffizient ± tα s n

oder, anders ausgedrückt,

x- ± tα SEx-

  • x- ist der Mittelwert. Wenn nur die Konstante nach der Methode der kleinsten Quadrate an den Datensatz angepasst wird, ist der Koeffizient für den konstanten Term und auch jeder einzelne angepasste Wert x~i genau x-.
  • SEx- = s n ist der Standardfehler des Mittelwerts und auch der Standardfehler des konstanten Terms, wenn das Modell nur aus dem konstanten Term besteht.
  • s ist die empirische Standardabweichung 1 n - 1 i = 1 n ( x i - x- ) 2 . Wenn nur die Konstante nach der Methode der kleinsten Quadrate an den Datensatz angepasst wird, ist DFFehler = n-1 die Residuenstandardabweichung sRes= 1 DFFehler i = 1 n ( x i - x~i ) 2 = 1 n - 1 i = 1 n ( x i - x- ) 2 genau s.
  • xi ist ein einzelner Wert im Datensatz.
  • n ist der Stichprobenumfang. Gleichzeitig ist ( x ) das Ergebnis des Matrixprodukts XTX, wenn nur die Konstante nach der Methode der kleinsten Quadrate an den Datensatz angepasst wird, weil die Designmatrix X in diesem Fall nur aus einer einzelnen Spalte besteht, die n mal den Wert 1 enthält.
  • Allgemeiner ist die Spalte der Standardfehler der Koeffizienten eines Regressionsmodells die Diagonale der Matrix (XTX)-1sRes.

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