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Minitab / Minitab Workspace - Inversionsmethode am Beispiel der Trapezverteilung

  • Erstellt am 1.11.2017
  • Überarbeitet am 25.5.2022
  • Software: Minitab (ab Version 18), Minitab Workspace, Companion by Minitab (ab Version 5.1.1.0)

Wie kann ich in Minitab Trapez-verteilte Zufallszahlen erzeugen? Wie kann ich im Companion by Minitab eine Monte-Carlo-Simulation mit einer Trapezverteilung machen?

Erläuterung

Gegeben sei eine Trapezverteilung mit Parametern

acdb.

Damit der Flächeninhalt der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f, also die Summe aus

  • dem Flächeninhalt des Dreiecks aus den Punkten (a, 0), (c, 0) und (c, f(c))
  • dem Flächeninhalt des Vierecks aus den Punkten (c,0), (c, f(c)), (d, f(c)) und (d, 0)
  • dem Flächeninhalt des Dreiecks aus den Punkten (d, 0), (d, f(c)) und (b, 0)

gleich 1 ist, müssen Sie f(c) so wählen, dass

12c-afc+d-cfc+12b-dfc=1

ist. Dann können Sie die Achsenabschnitte

m0,i

und die Steigungen

m1,i

für die Geradengleichungen

y=m0,i+m1,ix

der drei Abschnitte

i=1,2,3

der Funktion f berechnen.

ma_Zufallszahlen_Trapezverteilung_01

Integration ab dem Punkt a ergibt dann die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion F als Zusammensetzung aus den drei Stammfunktionen

y=consti+m0,ix + 12m1,ix2

mit geeignet gewählten Integrationskonstanten

consti

die F zu einer stetigen Funktion mit F(a) = 0 und F(b) = 1 machen.

ma_Zufallszahlen_Trapezverteilung_02

Gemäß der sogenannten Inversionsmethode können Sie mit Hilfe von auf dem Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen und der inversen kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion F-1, die Sie als Umkehrfunktion von F berechnen können, Trapez-verteilte Zufallszahlen erzeugen.

ma_Zufallszahlen_Trapezverteilung_03

Minitab

Im Downloadbereich dieses Artikels stellen wir Ihnen ein Minitab-Arbeitsblatt mit Formeln zur Verfügung. Die Spalte Uniform ist anfangs leer, und über den Formel-Spalten wird jeweils ein rotes x angezeigt. Wenn Sie Berechnen: Zufallszahlen: Gleichverteilung aus dem Minitab-Hauptmenü wählen, können Sie die Spalte Uniform mit auf dem Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen füllen.

Zufallszahlen_Trapezverteilung_01

In den Spalten abc und d können Sie die Parameter der Trapez-Verteilung eingeben. Über den Formel-Spalten wird jetzt jeweils ein grüner Haken angezeigt, und in der Spalte Trapez erscheinen die nach der Inversionsmethode erzeugten Trapez-verteilten Zufallszahlen.

Zufallszahlen_Trapezverteilung_02

Durch das Bewegen des Cursors auf den grünen Haken oberhalb der Ausgabespalte können Sie sich die Formel als Tooltip anzeigen lassen.

Mit Grafik: Histogramm: Einfach können Sie die Verteilung der Daten anzeigen lassen.

Zufallszahlen_Trapezverteilung_03

Je mehr Zufallszahlen Sie erzeugt haben, umso mehr nähert sich die Form des Histogramms der Trapezform an.

Zufallszahlen_Trapezverteilung_04

Anmerkung

Die kumulative Wahrscheinlichkeit ergibt sich für wie oben definierte Parameter a, b, c und d zu

0 für x0

x-a2Ac-a für a<xc

2x-a-cA für c<xd

x 2b-x - a+c b-d -d2 Ab-d für d<xb

1 für b<x

Hier ist A=b-a+d-c. Mit a=1, b=10, c=3 und d=7, also A=13, c-a=2, a+c=4, b-d=3 und a+cb-d+d 2=61, könnten Sie in Minitab 21 das APS-Paket Nr. 1050 mit dem Befehl

%ADD_sup_Zufallszahlen_nach_benutzerdefinierter_CDF 100 C1-C10 "1/13*If(XX<=1,0,XX<=3,(XX-1)^2/2,XX<=7,2*XX-4,XX<=10,(XX*(20-XX)-61)/3,13)"

um je 100 trapezverteilte Zufallszahlen mit diesen Parametern in den Spalten C1-C10 zu erzeugen. Siehe hierzu:

Zufallszahlen nach benutzerdefinierter CDF

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