Minitab 21 - Koeffizienten in einem allgemeinen vollfaktoriellen Versuchsplan

• Erstellt am 22.8.2012
• Überarbeitet am 29.4.2022
• Software: Minitab 21, 20, 19, 18, 17

Wie werden in einem Allgemeinen Vollfaktoriellen Versuchsplan die Koeffizienten und Anpassungen für das Regressionsmodell berechnet?

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Erläuterung

Während der Analyse wird eine von der Angabe des Modells abhängige Versuchsplanmatrix berechnet, aus welcher dann zusammen mit der Antwortvariable die Koeffizienten berechnet werden. Im Anhang gehen wir darauf etwas detaillierter ein. Bei einem vollständigen Modell, welches alle Haupteffekte und Wechselwirkungen enthält, zeigen wir hier am Beispiel eines faktoriellen Versuchsplans mit 2 Faktoren und 3 Stufen, wie wir auf die Koeffizienten kommen. Anbei haben wir den Beispiel-Versuchsplan samt Antwortvariable abgebildet:

↓
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7



 
StdRfolge
Durchlaufreihenfolge
Punkttyp
Blöcke
A
B
Antwort



1
3
1
1
1
1
3
-7.08485



2
25
2
1
1
3
1
-9.09949



3
2
3
1
1
1
2
7.38554



4
7
4
1
1
3
1
-1.13773



5
13
5
1
1
2
1
1.34893



6
19
6
1
1
1
1
8.07235



7
24
7
1
1
2
3
-12.5049



8
1
8
1
1
1
1
2.18077



9
15
9
1
1
2
3
-8.00147



10
6
10
1
1
2
3
-1.76389



11
17
11
1
1
3
2
-0.341926



12
27
12
1
1
3
3
-12.1745



13
5
13
1
1
2
2
2.30066



14
12
14
1
1
1
3
8.17707



15
23
15
1
1
2
2
-1.56263



16
8
16
1
1
3
2
-7.82537



17
16
17
1
1
3
1
2.07941



18
20
18
1
1
1
2
7.63673



19
22
19
1
1
2
1
5.27809



20
18
20
1
1
3
3
-2.42239



21
4
21
1
1
2
1
10.0102



22
9
22
1
1
3
3
-11.0578



23
11
23
1
1
1
2
9.83011



24
21
24
1
1
1
3
-4.4339



25
10
25
1
1
1
1
11.2618



26
26
26
1
1
3
2
0.859826



27
14
27
1
1
2
2
2.98946

Wenn Sie den Versuchsplan analysieren, erhalten Sie dieses Ergebnis.

Die Koeffizienten, die in der Tabelle erscheinen, sind Koeffizienten für ein Regressionsmodell für die Antwortvariable. Dieses ist Zusammengesetzt aus den folgenden vier Untermodellen:

• Modell 1: A = {2,3}, B = {2,3}
• Modell 2: A = {1,3}, B = {2,3}
• Modell 3: A = {2,3}, B = {1,3}
• Modell 4: A = {1,3}, B = {1,3}.

Bildlich könnten Sie es so darstellen:

Die Koeffizienten sind jetzt folgenden Modellen zuzuordnen:

Konstante: Alle Modelle.

Haupteffekte

A 1: Modell 2 und 4
A 2: Modell 1 und 3

B 1: Modell 3 und 4
B 2: Modell 1 und 2

Wechselwirkungen

A 1 B 1: Modell 4
A 2 B 1: Modell 3
A 1 B 2: Modell 2
A 2 B 2: Modell 1.

Die ausgegebenen Koeffizienten könnten Sie so auf die obere Zeichnung auftragen:

Anmerkung

Die Regressionsgleichung zeigt neben den Koeffizienten für die Stufen 1 und 2 auch Koeffizienten für die Stufe 3 an. Weil diese hier die Referenzstufe ist, erscheinen diese nicht in der Tabelle der Koeffizienten, wenn Sie die Option Standardkoeffizienten in der Auswahlleiste Koeffizienten im Unterdialog Ergebnisse des Werkzeugs Faktoriellen Versuchsplan analysieren ausgewählt haben.

Wie kommen diese Werte zu Stande?

Dazu erst einmal ein Exkurs zu den zweistufigen Faktoriellen Versuchsplänen.

In einem vollständigen Versuchsplanmodell A, B, A*B mit zwei Stufen erhält der Wert mit der Kodierung -1 auch die Gewichtung -1, und der Wert mit der Kodierung +1 erhält die Gewichtung +1. Dann werden die stufenweise Mittelwerte

• Mean(Y)_A,-
• Mean(Y)_A,+
• Mean(Y)_B,-
• Mean(Y)_B,+
• Mean(Y)_A*B,-
• Mean(Y)_A*B,+

der Antwortvariablen gebildet und die Koeffizienten nach den Formeln

• Koef(A) = Mean(Y)_A,+ - Mean(Y)_A,-
• Koef(B) = Mean(Y)_B,+ - Mean(Y)_B,-
• Koef(A*B) = Mean(Y)_A*B,- - Mean(Y)_A*B,-

berechnet.

Sie könnten auch anders herangehen und gleich Spalten "Gewichtung(A)" und "Gewichtung(B)" mit den Gewichtungen erstellen und dann die Koeffizienten auf diese Weise berechnen:

• Koef(A) = MW(Gewichtung(A)*Y)
• Koef(B) = MW(Gewichtung(B)*Y)
• Koef(A*B) = MW(Gewichtung(A)*Gewichtung(B)*Y)

Anders ausgedrückt: Sie gewichten die Antwortvariable mit den Werten ±1 und nehmen dann den Mittelwert, um den entsprechenden Koeffizienten zu erhalten. Dies können Sie jetzt auf Faktoren mit mehr als 2 Stufen verallgemeinern. Betrachten wir einen Versuchsplan mit zwei Faktoren A₁ und A₂ mit k₁ und k₂ Stufen. Faktor A₁ hat jetzt k₁-1 Freiheitsgrade, Faktor A₂ hat k₂-1 Freiheitsgrade, und der
Wechselwirkungsterm hat (k₁-1)*(k₂-1) Freiheitsgrade.

Wir nehmen jetzt Faktor A₁ mit Stufe j, 1≤j≤k₁-1. Die Gewichtungsspalte würde hier den Wert k₁-1 an der Stelle mit der Kodierung j und -1 an den anderen Stellen haben.

In dem Beispiel zu dieser FAQ mit k₁=k₂=3 sähe die Gewichtungsspalte für den Faktor A und der Stufe 1 so aus:

↓
C5
C6
C7
C11



 
A
B
Antwort
Gewichtung (A, 1)



1
1
3
-7.08485
2



2
3
1
-9.09949
-1



3
1
2
7.38554
2



4
3
1
-1.13773
-1



5
2
1
1.34893
-1



6
1
1
8.07235
2



7
2
3
-12.5049
-1



8
1
1
2.18077
2



9
2
3
-8.00147
-1



10
2
3
-1.76389
-1



11
3
2
-0.341926
-1



12
3
3
-12.1745
-1



13
2
2
2.30066
-1



14
1
3
8.17707
2



15
2
2
-1.56263
-1



16
3
2
-7.82537
-1



17
3
1
2.07941
-1



18
1
2
7.63673
2



19
2
1
5.27809
-1



20
3
3
-2.42239
-1



21
2
1
10.0102
-1



22
3
3
-11.0578
-1



23
1
2
9.83011
2



24
1
3
-4.4339
2



25
1
1
11.2618
2



26
3
2
0.859826
-1



27
2
2
2.98946
-1

Der Koeffizient Koef(A,1) wird jetzt berechnet, indem Sie die Spalten Antwort und Gewichtung (A,1) miteinander multiplizieren und den Mittelwert aus dem Ergebnis berechnen:

↓
C11
C12
C13



 
Gewichtung (A, 1)
Gewichtung(A,1)*Antwort
Koef A, 1



1
2
-14.1697
4.78062



2
-1
9.09949
 



3
2
14.7711
 



4
-1
1.13773
 



5
-1
-1.34893
 



6
2
16.1447
 



7
-1
12.5049
 



8
2
4.36154
 



9
-1
8.00147
 



10
-1
1.76389
 



11
-1
0.341926
 



12
-1
12.1745
 



13
-1
-2.30066
 



14
2
16.3541
 



15
-1
1.56263
 



16
-1
7.82537
 



17
-1
-2.07941
 



18
2
15.2735
 



19
-1
-5.27809
 



20
-1
2.42239
 



21
-1
-10.0102
 



22
-1
11.0578
 



23
2
19.6602
 



24
2
-8.86779
 



25
2
22.5235
 



26
-1
-0.859826
 



27
-1
-2.98946
 

Anhang

Im Anhang beschreiben wir kurz, wie mit Hilfe der berechneten Koeffizienten und der sogenannten Versuchsplanmatrix das Modell berechnet wird. Im zweiten Abschnitt gehen wir auf die Berechnung der Koeffizienten im Falle von reduzierten Modellen ein. Auch hier wird die sogenannte Versuchsplanmatrix verwendet. Die Versuchsplanmatrix ist abhängig vom angegebenen Modell.

(1) Berechnung der Anpassungen

Während der Analyse des Versuchsplans können Sie die Versuchsplanmatrix und die Modellkoeffizienten ins Arbeitsblatt speichern lassen. Die Koeffizienten erscheinen als Spalte im Arbeitsblatt. Die Versuchsplanmatrix können Sie sich über Daten: Daten anzeigen im Sessionfenster anzeigen lassen und über Daten: Kopieren: Matrix in Spalten in Spalten des Arbeitsblattes kopieren.

Die Spalte Koeffizienten hat in unserem Beispiel 9 Zeilen, und die Versuchsplanmatrix hat 9 Spalten.

Die Anpassungen werden jetzt so berechnet:

Anpassungen = 'XMAT1_1'*'Koeffizienten'[1]
+'XMAT1_2'*'Koeffizienten'[2]
+'XMAT1_3'*'Koeffizienten'[3]
+'XMAT1_4' *'Koeffizienten'[4]
+'XMAT1_5'*'Koeffizienten'[5]
+'XMAT1_6'*'Koeffizienten'[6]
+'XMAT1_7'*'Koeffizienten'[7]
+'XMAT1_8'*'Koeffizienten'[8]
+'XMAT1_9'*'Koeffizienten'[9]

↓
C3
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
C13
C15



 
Koeffizienten
XMAT1_1
XMAT1_2
XMAT1_3
XMAT1_4
XMAT1_5
XMAT1_6
XMAT1_7
XMAT1_8
XMAT1_9
Anpassungen



1
-0.00000
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1.11389



2
4.78062
1
-1
-1
1
0
-1
0
-1
0
-2.71927



3
-0.21173
1
1
0
0
1
0
1
0
0
8.28413



4
3.33270
1
-1
-1
1
0
-1
0
-1
0
-2.71927



5
2.36360
1
0
1
1
0
0
0
1
0
5.54574



6
-0.94169
1
1
0
1
0
1
0
0
0
7.17163



7
1.13991
1
0
1
-1
-1
0
0
-1
-1
-7.42342



8
2.42477
1
1
0
1
0
1
0
0
0
7.17163



9
-0.90937
1
0
1
-1
-1
0
0
-1
-1
-7.42342



10
 
1
0
1
-1
-1
0
0
-1
-1
-7.42342



11
 
1
-1
-1
0
1
0
-1
0
-1
-2.43582



12
 
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-8.55158



13
 
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1.2425



14
 
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1.11389



15
 
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1.2425



16
 
1
-1
-1
0
1
0
-1
0
-1
-2.43582



17
 
1
-1
-1
1
0
-1
0
-1
0
-2.71927



18
 
1
1
0
0
1
0
1
0
0
8.28413



19
 
1
0
1
1
0
0
0
1
0
5.54574



20
 
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-8.55158



21
 
1
0
1
1
0
0
0
1
0
5.54574



22
 
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-8.55158



23
 
1
1
0
0
1
0
1
0
0
8.28413



24
 
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1.11389



25
 
1
1
0
1
0
1
0
0
0
7.17163



26
 
1
-1
-1
0
1
0
-1
0
-1
-2.43582



27
 
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1.2425

(2) Berechnung der Koeffizienten bei nicht notwendigerweise vollständigen Modellen unter Verwendung der Versuchsplanmatrix

Zur besseren Nachvollziehbarkeit haben wir hier die Versuchsplanmatrix mit Hilfe des Sessionbefehls Name in X genannt. In Minitab gibt es unter Berechnen: Matrizen die Möglichkeit, mit Matrizen zu rechnen. Wir gehen bei der Berechnung der Koeffizienten so vor, wie es das folgende Bildschirmvideo zeigt.

Ihr Servicepartner die ADDITIVE GmbH stellt allen ADDITIVE Kunden, die einen ADDITIVE Professional Support gekauft haben kostenfrei ein Minitab-Projekt zur Verfügung, in welchem das Beispiel zu dieser FAQ abgespeichert ist.

Siehe auch

Determinante von X^t*X
Spur von X^t*X oder (X^t*X)^-1