Minitab 21 - Ein lokales Makro für Matrixberechnungen

Bitte speichern Sie die folgenden 4x4-Matrizen in das Minitab-Arbeitsblatt:

$\begin{array}{cc}\mathrm{M}1=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 6& 10\end{array}\right)& \mathrm{M}2=\left(\begin{array}{cc}9& 2\\ 8& 3\end{array}\right)\\ \mathrm{M}3=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 7\end{array}\right)& \mathrm{M}4=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 9& 5\end{array}\right)\\ \mathrm{M}5=\left(\begin{array}{cc}10& 10\\ 3& 4\end{array}\right)& \mathrm{M}6=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 8& 6\end{array}\right)\end{array}$

Sie können das machen, indem Sie zunächst im Sessionfenster den Modus Editor: Befehlszeile anzeigen aktivieren und anschließend die Werte mit Hilfe des Werkzeugs Berechnen: Matrizen: Einlesen der Matrix übergeben. Oder Sie tippen die Werte in Spalten des Arbeitsblatts ein und wählen anschließen Daten: Kopieren: Spalten in Matrix.

Der Sessionbefehl zum Bilden der Summe

${\left(\mathrm{M}{1}^{\mathrm{T}}\mathrm{M}2\right)}^{-1}+{\left(\mathrm{M}{3}^{\mathrm{T}}\mathrm{M}4\right)}^{-1}+{\left(\mathrm{M}{5}^{\mathrm{T}}\mathrm{M}6\right)}^{-1}$

ist

%ADD_sup_MatrixLet M7 "Add(Inv(Mltp(Tr(M1);M2));Inv(Mltp(Tr(M3);M4));Inv(Mltp(Tr(M5);M6)))";
   Matrizen M1-M6.

Die können Sie in zwei Schritten tun:

1. Berechnung des Vektors der Koeffizienten.
2. Einsetzen der Vektoren für Koeffizienten und Beobachtungen zusammen mit der Designmatrix in die Formeln für die korrigierten Summen der Quadrate

Bitte öffnen Sie das zum Beispiel für das Anpassen eines Regressionsmodells aus der Online-Hilfe von Minitab gehörende Arbeitsblatt Knitterfestigkeit.MTW. und führen Sie die Anweisungen in diesem Beispiel aus, wobei Sie zusätzlich im Hauptdialog Regression auf den Button Speichern klicken, um die Designmatrix zu speichern.

Anmerkung: Sie könnten hier zusätzlich auch die Koeffizienten anklicken, wenn Sie nur den zweiten Schritt mit dem Matrix-Rechner durchführen möchten. Wir zeigen Ihnen hier, wie Sie auch die Berechnung der Koeffizienten mit Hilfe des Matrixrechners nachvollziehen können.

Wenn Sie einen Rechtsklick auf das zum Arbeitsblatt gehörende Tab machen, können Sie über das Kontextmenü die Arbeitsblattinformationen anzeigen lassen.⁴

Das Programm hat die Matrix automatisch benannt. Um die Matrixnummern an Stelle der Matrixnamen in der Formel verwenden zu können, könnten Sie vorab den Matrixnamen entfernen, entweder mit dem Befehl

Name M1 ""

oder, speziell im Fall, dass Sie mehrere Matrizen in die Formel einfließen lassen, mit dem globalen Makro Add_sup_Matrixnamen_entfernen.mac, das die Namen aller Matrizen im Projekt entfernt.

Die Formel für den Koeffizienten auf der Seite Methoden und Formeln der Minitab-Onlinehilfe ist

$\mathrm{b}=({\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{X}{)}^{-1}{\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Y}$

Die Designmatrix M1 entspricht in dieser Formel dem X, die Spalte C5 mit den Beobachtungen dem Y und die Spalte mit den Koeffizienten dem b. Mit Hilfe des Unterbefehls MitSpalten können Sie Y und b auch als Spalten in die Matrixrechnung einbinden. Wenn die Koeffizienten in Spalte C6 gespeichert werden sollen, lautet der Befehl

%ADD_sup_Matrixnamen_entfernen
%ADD_sup_MatrixLet M2 "Mltp(Inv(Mltp(Tr(M1);M1));Tr(M1))";
  Matrizen M1;
  MitSpalten C5 C6.

Die Formeln für die (korrigierten) Summen der Quadrate auf der Seite Methoden und Formeln der Minitab-Onlinehilfe sind

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{SS} \mathrm{Regression}& =& {\mathrm{b}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Y}& -& \frac{1}{\mathrm{n}}{\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\mathrm{J} \mathrm{Y}\\ \mathrm{SS} \mathrm{Fehler}& =& {\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Y}& -& {\mathrm{b}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Y}\\ \mathrm{SS} \mathrm{Gesamt}& =& {\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Y}& -& \frac{1}{\mathrm{n}}{\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\mathrm{J} \mathrm{Y}\end{array}$

Das führt zu den folgenden Befehlen zum Aufruf des Makros. Mit # werden hier Kommentarzeilen aufgeführt.

# Beobachtungen Y
Copy C5 M3.
# Koeffizienten b
Copy C6 M4
# SS Regression
%ADD_sup_MatrixLet M5 "Sbtr(Mltp(Tr(M3);Def(1;32;32;32);M3);Mltp(Tr(M4);Tr(M1);M3))";
  Matrizen M1 M3 M4.
# SS Fehler
%ADD_sup_MatrixLet M6 "Sbtr(Mltp(Tr(M4);Tr(M1);M3);Mltp(Tr(M3);M3))";
  Matrizen M1 M3 M4.
# SS Gesamt
%ADD_sup_MatrixLet M7 "Sbtr(Mltp(Tr(M3);Def(1;32;32;32);M3);Mltp(Tr(M3);M3))";
  Matrizen M1 M3 M4.

Die Ergebnisse können Sie hier ausklappen.

Bitte vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen im Beispiel der Online-Hilfe für das Anpassen eines Regressionsmodells.

Wie Sie die Scores in einer Hauptkomponentenanalyse mit Hilfe dieses Matrixrechners nachvollziehen könnten, zeigen wir Ihnen am Beispiel für eine Hauptkomponentenanalyse aus der Minitab-Hilfe. Bitte öffnen Sie das dazu gehörende Arbeitsblatt Kreditanträge.MTW. Führen Sie die Hauptkomponentenanalyse nach den Anweisungen in dem Beispiel durch und klicken Sie dabei im Hauptdialog Hauptkomponentenanalyse auf den Button Speichern, um den Unterdialog Hauptkomponentenanalyse - Speichern zu öffnen. Speichern Sie die Werte (Englisch: Scores) in die Spalten C11-C18.

Auch in diesem Beispiel wird im Hintergrund gemäß der Seite Methoden und Formeln für Hauptkomponentenanalyse - Werte im Hintergrund eine Matrixrechnung durchgeführt:

$\mathrm{Z}=\mathrm{Y} \mathrm{V}$

Das Standardisieren können Sie mit der Makro-Funktion Center machen, und weil die Analyse mit einer Korrelation als Matrixtyp durchgeführt worden ist, können Sie auch hier die Funktion Cor einsetzen. Der Befehl zum Nachvollziehen der Berechnung der Scores ist

# Datenmatrix
Copy C1-C8 M1.
# Z = Y V
%ADD_sup_MatrixLet M2 "Multiply(Center(M1);EigenVect(Cor(M1)))";
  Matrizen M1.

 Bitte vergleichen Sie diese mit den Ausgabespalten C11-C18.