Minitab 22 - Einfache ANOVA via Allgemeines lineares Modell - Was bedeutet die Regressionsgleichung?

• Erstellt am 6.7.2023
• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21

Ich kann eine einfache ANOVA auch über das Menü Allgemeines lineare Modell anpassen durchführen, indem ich einen einzelnen Faktor angebe. Am Beispiel Lackhärte.MTW des Beispiels für Einfache ANOVA aus der Online-Hilfe von Minitab bekomme ich, wenn ich ein Allgemeines lineares Modell mit Antwort Härte und Faktor Lack durchführe, die Regressionsgleichung

Härte = 13,588 + 1,15 Lack_Mischung 1 - 5,02 Lack_Mischung 2 - 0,60 Lack_Mischung 3 + 4,48 Lack_Mischung 4

Was bedeutet diese im Kontext der einfachen ANOVA?

Erläuterung

Der Konstante Koeffizient, in diesem Beispiel rund 13,588, entspricht dem Gesamtmittelwert der Antwortvariablen. Wenn der Faktor Lack statistisch nicht signifikant wäre (p-Wert > α), der Konstante Term aber statistisch signifikant (p-Wert ≤ α), könnte man die Werte der Antwortvariablen als mit

$y=\stackrel{-}{y}+\epsilon$

modelliert vorstellen. Hier ist α das in vielen Anwendungsfällen auf 0,05 festgelegte Signifikanzniveau, $y$ die Antwortvariable (Härte) , $\stackrel{-}{y}$ der Gesamtmittelwert der Antwortvariablen (also ≈ 13,588) und $\epsilon$ der Fehlerterm. Ist der Faktor Lack statistisch signifikant, so könnte man sich die Werte der Antwortvariablen als mit

$y_i={\bar{y}}_i+\epsilon$

modelliert vorstellen. Hier ist $y_i$ die Antwortvariable in denjenigen Zeilen mit Faktor = $i$, ${\bar{y}}_i$ der Mittelwert über alle Zeilen mit Faktor = $i$ der Antwortvariablen (also ≈ 14,7333 für Lack = Mischung 1, ≈ 8,5667 für Lack = Mischung 2, ≈ 12,9833 für Lack = Mischung 3 und ≈ 18,0667 für Lack = Mischung 4) und $\epsilon$ der Fehlerterm. Sie können diese Mittelwerte beispielsweise mit dem Werkzeug Deskriptive Statistik anzeigen berechnen; oder Sie klicken im Dialogfeld Allgemeines lineares Modell auf den Button Speichern und aktivieren im Unterdialog die Checkbox Anpassungen. Alternativ könnten Sie das Modell darstellen als

$y_i=\stackrel{-}{y}+{\delta }_i+\epsilon$

mit ${\delta }_i={\bar{y}}_i-\bar{y}$. Im Beispiel ist

${\delta }_{\mathrm{Mischung}1}\approx \mathrm{14,7333}-\mathrm{13,588}\approx \mathrm{1,15}$

${\delta }_{\mathrm{Mischung}2}\approx \mathrm{8,5667}-\mathrm{13,588}\approx \mathrm{-5,02}$

${\delta }_{\mathrm{Mischung}3}\approx \mathrm{12,9833}-\mathrm{13,588}\approx \mathrm{-0,60}$

${\delta }_{\mathrm{Mischung}4}\approx \mathrm{18,0667}-\mathrm{13,588}\approx \mathrm{4,48}$

was den Koeffizienten in der Regressionsgleichung entspricht. Auf die Form, wie es in der Regressionsgleichung dargestellt wird, kommen wir, wenn wir die Darstellung etwas abändern in

$y_i=\bar{y}+\sum _{i\in X}{\delta }_i{e}_i+\epsilon$

mit der Menge $X$ der Faktorstufen (beim Faktor Lack ist $X$ = {Mischung 1, Mischung 2, Mischung 3, Mischung 4}) und $e_i=1$ im Fall, dass Faktor = $i$, sowie $e_i=0$ im Fall, dass Faktor ≠ $i$. Beispielsweise gilt für die erste Zeile des Datensatzes

dass

14,9 ≈ 13,588 + 1,15*0 - 5,02*1 - 0,60*0 + 4,48*0 + $\epsilon$