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Minitab 22 - Unterschiedliche Standardabweichungen bei gleichen Daten

Überarbeitet am 5.4.2024
Software: Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17

Warum erhält man unterschiedliche Ergebnisse, obwohl man die gleichen Daten verwendet?

Häufig wird die Standardabweichung einer normalverteilten Grundgesamtheit als σ und der Schätzer auf Basis einer Stichprobe als s bezeichnet. Berechnet man s mit den Funktionen unter dem Menüpunkt Statistik: Statistische Standardverfahren, oder unter dem Menüpunkt Berechnen, so verwendet Minitab dabei die Formel

$s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$

beziehungsweise

$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$

Man erhält s, in Hier ist x_i eine Bezeichnung für die Einzelwerte, über die summiert wird, x is eine Bezeichnung für den arithmetische Mittelwert und n ist eine Bezeichnung für den Stichprobenumfang.

Bei der Prozessfähigkeitsanalyse für normalverteilte Daten (Statistik: Qualitätswerkzeuge: Prozessfähigkeitsanalyse: Normal) werden zwei Schätzer für die Standardabweichung ausgegeben: StdAbw(gesamt) und StdAbw(innerhalb). Wie diese beiden Werte geschätzt werden, kann im Unterdialog Prozessfähigkeitsanalyse (Normalverteilung): Standardabweichung schätzen festgelegt werden.

StdAbw(gesamt)

Ist das Kästchen Beim Berechnen der Gesamtstandardabweichung erwartungstreue Konstante verwenden deaktiviert, so wird für StdAbw(gesamt) der gleiche Schätzer verwendet, wie in der am Anfang dieser FAQ genannen Formel. Ist das Kästchen hingegen aktiviert, wird dieser Wert noch um einen Faktor, der mit Hilfe der Gamma-Funktion ermittelt wird und abhängig vom Stichprobenumfang ist, korrigiert. Je größer die Stichprobe ist, desto mehr nähert sich Korrekturfaktor dem Wert 1 an.

StdAbw(innerhalb)

Für die Standardabweichung innerhalb von Teilgruppen, kurz StdAbw(innerhalb), werden die beiden Fälle

Teilgruppengröße > 1

und

Teilgruppengröße = 1

unterschieden. Für beide Fälle hat man im Unterdialog die Möglichkeit, zwischen drei verschiedenen Verfahren zu wählen. Es kann auch gewählt werden, ob ein Korrekturfaktor verwendet wird, indem man das Kästchen Konstante für erwartungstreue Schätzung verwenden aktiviert oder deaktiviert.

Erstellt man eine Einzelwertkarte (Statistik: Regelkarten: Regelkarten für Variablen (Einzelwerte)), werden die Eingriffsgrenzen OEG und UEG durch $\bar{x} \pm 3 s$ bestimmt.
Erstellt man eine X-quer-Karte (Statistik: Regelkarten: Regelkarten für Variablen (Teilgruppe)), werden die Eingriffsgrenzen OEG und UEG durch $\bar{x} \pm 3 s / \sqrt{n}$ bestimmt, wobei n die Teilgruppengröße ist. Bei nicht konstanter Teilgruppengröße ergeben sich gruppenweise verschiedene Eingriffsgrenzen. Siehe hierzu auch: Einstellen der Eingriffsgrenzen für X-quer/R-Karten.

Auch hier gibt es, ähnlich wie beim Schätzer StdAbw(innerhalb) in der Prozessfähigkeitsanalyse, verschiedene Verfahren zur Schätzung von s. Diese können unter dem Reiter Schätzwert des Unterdialogs Regelkarte: Optionen festgelegt werden. Der Platzhalter Regelkarte meint hier je nach Wahl der Regelkarte entweder X-quer/R-Karte, X-quer/S-Karte, I/MR-R/S-Karte, X-quer-Karte, R-Karte, S-Karte, Zonenkarte, Einzelwertkarte mit gleitender Spannweite, Z/MR-Karte, Einzelwertkarte oder Regelkarte der gleitenden Spannweite (MR). Hier kann man auch festlegen, ob alle Werte oder nur ein Teil der Werte in die Schätzung für μ und σ und damit in die Berechnung von OEG und UEG einfließen.

Unabhängig von der Berechnungsmethode gilt, dass die Korrektur bei größeren Stichproben geringer wird, da diese eine bessere Aussagekraft bezüglich der Grundgesamtheit haben. Der Korrekturfaktor wird verwendet, um eine erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit zu erhalten.

Die Verfahren sind auf der Seite Methoden und Formeln der Minitab-Hilfe zur jeweiligen Analyse hinterlegt. Die Navigation zu dieser Seite ist auf der FAQ Wie finde ich Hintergrundinformationen zu meiner Analyse? beschrieben.

Anmerkung zu Box-Cox-Transformationen

Bei einer Box-Cox-Transformation wird für die Datenspalte Y ein Wert λ berechnet, sodass die Standardabweichung von

$W = \frac{Y^{λ} - 1}{λ G^{λ - 1}}$

im Fall λ ≠ 0 beziehungsweise

$W = G L n (Y)$

im Fall λ = 0

minimal wird. Auf Basis des Schätzwertes wird ein Gerundeter Wert berechnet (siehe hierzu auf den Seiten Interpretieren der Ergebnisse sowie Methoden und Formeln der Online-Hilfe von Minitab für die Box-Cox-Transformation). Bei der Berechnung des Schätzwertes wird die Standardabweichung von abhängig von der Teilgruppengröße geschätzt:

Für Teilgruppengröße = 1 wird die erwartungstreu korrigierte mittlere gleitende Spannweite als Schätzer verwendet.
Für Teilgruppengröße ≠ 1 wird die erwartungstreu korrigierte zusammengefasste Standardabweichung verwendet.

Entsprechend ist auch der Wert λ und damit die Transformation Y^λ von der Teilgruppengröße abhängig. Im Download-Bereich dieses Artikels haben wir ein Minitab-Projekt zur Verfügung gestellt, welches an Hand eines Beispieldatensatzes für drei verschiedene Teilgruppengrößen (1, 2 und 5) die Kurve der Standardabweichungen von W in Abhängigkeit von λ mit Referenzlinien am jeweiligen Minimum zeigt. Dieses entspricht jeweils dem Schätzwert für λ.