Minitab 22 - Randomized-Block-Designs

• Überarbeitet am 5.4.2024
• Software: Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17

"Block what you can, randomize what you cannot" - Was versteht man darunter?

Erläuterung

Innerhalb von Randomized-Block-Designs dienen Blockvariablen zur systematischen Behandlung von Störgrößen.

Definition von Störfaktoren

Ein Störfaktor ist ein Designfaktor, der einen möglichen Effekt auf die Zielgrösse hat, dessen Effekt aber nicht von Interesse ist.

Douglas C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, Seite 126.
John Wiley & Sons Inc; 6.te Auflage (13. Dezember 2004). ISBN-10: 047171932

Typen von Störfaktoren und Behandlung

• Bekannt und Kontrollierbar ⇒ Blockbildung, um den Effekt systematisch zu eliminieren
• Bekannt und Unkontrollierbar ⇒ bei messbarem Effekt: Kovarianzanalyse (ANCOVA)
• Unbekannt und Unkontrollierbar ⇒ Randomisierung

Anwendungsbeispiele

• Von einer Produktionscharge mit Granulat sollen die Einflussgrößen auf die Zielvariable Korndurchmesser bestimmt werden. Aus einer Charge konnten nicht genug Versuche gewonnen werden, so dass eine zweite Charge zur Versuchsplanung herangezogen werden musste. Der mögliche Einfluss der beiden unterschiedlichen Chargen (Charge 1 und Charge 2) als Störgrößen kann mittels Blockbildung reduziert werden. Man beachte dabei, dass die Blöcke gleich groß bleiben müssen.
• Ein kompletter Durchlauf durch ein Versuchsdesign benötigt 1 Woche. Das komplette Versuchsdesign wurde an zwei weiteren Wochen wiederholt. Hierbei hat die Blockvariable Woche drei Ausprägungen.

Randomized-Block-Designs

• die Streuung innerhalb einer Gruppe der Blockvariable soll möglichst gering sein (homogene Werte).
• die Streuung zwischen den Gruppen der Blockvariable soll möglichst hoch sein. (Blockmittelwerte unterscheiden sich deutlich voneinander).

Die Versuchsdurchläufe werden nun innerhalb jedes Blocks möglichst nach Zufall auf die experimentellen Bedingungen zugeteilt. In der Varianzanalyse kann dann derjenige Varianzanteil, der auf die Unterschiede zwischen den Blöcken zurückgeht aus der Fehlervarianz isoliert werden. Ein Blockdesign ist somit ein mehrfaktorielles Design, wobei jedoch mindestens einer der Faktoren einen sogenannten Blockfaktor darstellt.

Von den Versuchsergebnissen für jeden Block wird der Mittelwert dieses Blocks abgezogen. Das Abziehen der Mittelwerte hat keinen Einfluss auf die Effekte, man erhält jedoch eine deutlich reduzierte Streuung, weil Unterschiede zwischen den Blöcken nicht mehr eingehen. Durch das Abziehen der Blockmittelwerte hat man die systematischen Unterschiede zwischen den Blöcken eliminiert.

• Es wird keine Wechselwirkung der Block-Variable und den anderen Faktoren angenommen, das heißt, das zugrundeliegende Model ist dabei Y_ijk = μ + α_i + β_j + ε_ijk. Die Bezeichnungen α_i stehen hier für die Behandlungseffekte, und die Bezeichnungen β_j für die Blockeffekte. Die Behandlung hat a-1 Freiheitsgrade, die Blöcke haben b-1 Freiheitsgrade und der Fehlerterm hat. Da es a*b Einheiten gibt, gibt es insgesamt a*b-1 Freiheitsgrade. Der Fehlerterm hat (a*b-1)-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1) Freiheitsgrade.
• Die Block-Variable wird als zufällig und die Versuchsfaktoren werden als fest angenommen.
• Versuchspläne mit schwer veränderlichen Faktoren (Split-Plot-Designs) sind ebenfalls ein Typ von Randomized-Block-Designs, jedoch mit zusätzlich geschachtelten Faktoren.

Beispieldaten

↓
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7-T
C8




 
StdRfolge
Durchlaufreihenfolge
Zentralpunkt
Blöcke
Zeit
Temp
Katalysator
Ausbeute




1
4
1
1
1
50
200
A
48,4665




2
3
2
1
1
20
200
A
45,1931




3
8
3
1
1
50
200
B
49,2040




4
6
4
1
1
50
150
B
45,5991




5
1
5
1
1
20
150
A
42,7636




6
2
6
1
1
50
150
A
44,7592




7
7
7
1
1
20
200
B
44,7077




8
5
8
1
1
20
150
B
43,3937




9
12
9
1
2
50
200
A
49,0645




10
14
10
1
2
50
150
B
45,1531




11
16
11
1
2
50
200
B
48,6720




12
15
12
1
2
20
200
B
45,3297




13
10
13
1
2
50
150
A
45,3932




14
13
14
1
2
20
150
B
43,0617




15
9
15
1
2
20
150
A
43,2976




16
11
16
1
2
20
200
A
44,8891

Analyse der Beispieldaten mit den Werkzeugen "Faktoriellen Versuchsplan analysieren" und "Allgemeines lineares Modell" zum Vergleich

Diese Daten sind einem Beispiel aus der Minitab 17-Hilfe entnommen (Dateiname: Ausbeute.MTW, zur Navigation siehe Wie finde ich Hintergrundinformationen zum Ergebnis meiner Analyse).

(a) Faktoriellen Versuchsplan mit Block-Variable analysieren

(b) Faktoriellen Versuchsplan ohne Block-Variable analysieren

(c) Allgemeines lineares Modell mit der Blockspalte als Zufallsfaktor

(d) Zum Vergleich: Allgemeines lineares Modell mit der Blockspalte als fester Faktor

(e) Allgemeines lineares Modell ohne Blockspalte

Fazit

"Block what you can, randomize, what you cannot" kann als Faustregel zur Verminderung der Fehlervarianz betrachtet werden. Die Varianz zwischen den Blöcken muss dabei größer sein als die Varianz innerhalb der Blöcke. Blockvariablen gelten hierbei als zufälliger und nicht als fester Faktor und es wird keine Wechselwirkung der Blockvariablen mit den Hauptfaktoren angenommen. Damit wird erreicht, dass die Behandlungseffekte (feste Faktoren) eher zu signifikanten Faktoren werden.

Anmerkung

Der Vollständigkeit halber, sei hier erwähnt, dass neben diesen sog. Randomized Complete Block Desgin auch Randomized Incomplete Block Designs existieren, die aber in diesem Artikel nicht betrachtet werden.