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Minitab 21 - Parameterschätzung in der Verteilungsanalyse (Rechtszensierung)

  • Erstellt am 28.12.2015
  • Überarbeitet am 28.4.2022
  • Software1 : Minitab 21, 20, 19, 18

Wie werden in Minitab bei der Verteilungsgebundenen Analyse für rechtszensierte Daten die Verteilungsparameter geschätzt?

apspaketDas entsprechende APS-Paket ist über unseren ADDITIVE Professional Service erhältlich. Um das Paket zu erhalten, kontaktieren Sie unseren Support per E-Mail an Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein. oder per Telefon unter +49 6172 5905 20 jeweils unter Angabe der APS-Paketnummern 813 und 934.

Erläuterung

In den Werkzeugen

  • Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsidentifikation
  • Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsübersicht
  • Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsgebundene Analyse

können Sie bei der Schätzung der Verteilungsparameter zwischen zwei Schätzverfahren wählen:

  • Maximum-Likelihood
  • Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y)

Weibullverteilter Beispieldatensatz

C1 C2-T
  Stunden Ausfall?
1 226 Ja
2 509 Ja
3 538 Ja
4 745 Ja
5 1000 Nein
6 1261 Ja
7 1375 Ja
8 1478 Ja
9 1540 Ja
10 1619 Ja
11 1655 Ja
12 1696 Ja
13 1741 Ja
14 1790 Ja
15 2000 Nein
16 2310 Ja
17 2326 Ja
18 2568 Ja
19 2867 Ja
20 3426 Ja

Maximum-Likelihood

Haben Sie als Schätzmethode Maximum-Likelihood ausgewählt, dann werden die Verteilungsparameter so geschätzt, dass diese unter Berücksichtigung der Zensierung die Likelihood- beziehungsweise Loglikelihood-Funktion für die Stichprobe maximieren.

Das APS-Paket Nr. 813 enthält ein Minitab-Projekt, in welchem wir den Loglikelihood-Wert für die Maximum-Likelihood-Schätzer dieses Datensatzes manuell nachgerechnet haben. Die Berechnungen können Sie durch einen Klick auf den grünen Haken über der jeweiligen Spalte nachvollziehen. Als Verteilung haben wir die Weibull-Verteilung ausgewählt. Wenn Sie Form- und Skalenparameter variieren, erhalten Sie kleinere Loglikelihood-Werte.

Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y))

Wenn Sie als Schätzmethode Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y)) ausgewählt haben, dann werden die Daten so transformiert, dass die Verteilungsanpassung in dieser Transformation zu einer Geraden würde, und die transformierten Daten werden dann linear angepasst. Am Beispiel-Datensatz erhalten Sie mit der Weibull-Verteilung die unten angezeigten Schätzer.

Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsgebundene Analyse

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_01

Zensieren

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_02

Optionen

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_03

OK

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_04

Das Ergebnis der Schätzmethode können Sie, zum Beispiel unter Verwendung der Seite Methoden und Formeln in der Minitab-Hilfe zur Verteilungsanalyse (Rechtszensierung), folgendermaßen nachvollziehen. Bitte stellen Sie sicher, dass der Modus Ansicht: Befehlszeile/Verlauf aktiviert ist, damit Sie auf der rechten Seite die Befehlszeile sehen, und führen Sie diese Befehle in der Befehlszeile aus (Kommentarzeilen beginnen mit #).2


Name C3 "IR"
Let 'IR' = If('Ausfall?' = "Ja";Rank(-Stunden);'*')
Name K1 "AR_0"
Name K2 "AR_1"
Name K3 "AR_2"
Name K4 "AR_3"
Name K5 "AR_4"
Name K6 "AR_5"
Name K7 "AR_6"
Name K8 "AR_7"
Name K9 "AR_8"
Name K10 "AR_9"
Name K11 "AR_10"
Name K12 "AR_11"
Name K13 "AR_12"
Name K14 "AR_13"
Name K15 "AR_14"
Name K16 "AR_15"
Name K17 "AR_16"
Name K18 "AR_17"
Name K19 "AR_18"
Name K20 "IR_1"
Name K21 "IR_2"
Name K22 "IR_3"
Name K23 "IR_4"
Name K24 "IR_5"
Name K25 "IR_6"
Name K26 "IR_7"
Name K27 "IR_8"
Name K28 "IR_9"
Name K29 "IR_10"
Name K30 "IR_11"
Name K31 "IR_12"
Name K32 "IR_13"
Name K33 "IR_14"
Name K34 "IR_15"
Name K35 "IR_16"
Name K36 "IR_17"
Name K37 "IR_18"
Let 'IR_1' = 'IR'(1)
Let 'IR_2' = 'IR'(2)
Let 'IR_3' = 'IR'(3)
Let 'IR_4' = 'IR'(4)
# Der fünfte Wert ist zensiert und wird übersprungen.
Let 'IR_5' = 'IR'(6)
Let 'IR_6' = 'IR'(7)
Let 'IR_7' = 'IR'(8)
Let 'IR_8' = 'IR'(9)
Let 'IR_9' = 'IR'(10)
Let 'IR_10' = 'IR'(11)
Let 'IR_11' = 'IR'(12)
Let 'IR_12' = 'IR'(13)
Let 'IR_13' = 'IR'(14)
# Der 15. Wert ist zensiert und wird übersprungen.
Let 'IR_14' = 'IR'(16)
Let 'IR_15' = 'IR'(17)
Let 'IR_16' = 'IR'(18)
Let 'IR_17' = 'IR'(19)
Let 'IR_18' = 'IR'(20)
Let 'AR_0' = 0
Let 'AR_1' = ('IR_1'*'AR_0'+N('Stunden')+1)/('IR_1'+1)
Let 'AR_2' = ('IR_2'*'AR_1'+N('Stunden')+1)/('IR_2'+1)
Let 'AR_3' = ('IR_3'*'AR_2'+N('Stunden')+1)/('IR_3'+1)
Let 'AR_4' = ('IR_4'*'AR_3'+N('Stunden')+1)/('IR_4'+1)
Let 'AR_5' = ('IR_5'*'AR_4'+N('Stunden')+1)/('IR_5'+1)
Let 'AR_6' = ('IR_6'*'AR_5'+N('Stunden')+1)/('IR_6'+1)
Let 'AR_7' = ('IR_7'*'AR_6'+N('Stunden')+1)/('IR_7'+1)
Let 'AR_8' = ('IR_8'*'AR_7'+N('Stunden')+1)/('IR_8'+1)
Let 'AR_9' = ('IR_9'*'AR_8'+N('Stunden')+1)/('IR_9'+1)
Let 'AR_10' = ('IR_10'*'AR_9'+N('Stunden')+1)/('IR_10'+1)
Let 'AR_11' = ('IR_11'*'AR_10'+N('Stunden')+1)/('IR_11'+1)
Let 'AR_12' = ('IR_12'*'AR_11'+N('Stunden')+1)/('IR_12'+1)
Let 'AR_13' = ('IR_13'*'AR_12'+N('Stunden')+1)/('IR_13'+1)
Let 'AR_14' = ('IR_14'*'AR_13'+N('Stunden')+1)/('IR_14'+1)
Let 'AR_15' = ('IR_15'*'AR_14'+N('Stunden')+1)/('IR_15'+1)
Let 'AR_16' = ('IR_16'*'AR_15'+N('Stunden')+1)/('IR_16'+1)
Let 'AR_17' = ('IR_17'*'AR_16'+N('Stunden')+1)/('IR_17'+1)
Let 'AR_18' = ('IR_18'*'AR_17'+N('Stunden')+1)/('IR_18'+1)
Name C4 "AR"
Let 'AR'(1) = 'AR_1'
Let 'AR'(2) = 'AR_2'
Let 'AR'(3) = 'AR_3'
Let 'AR'(4) = 'AR_4'
# Die fünfte Zeile wird wegen der Zensierung übersprungen.
Let 'AR'(6) = 'AR_5'
Let 'AR'(7) = 'AR_6'
Let 'AR'(8) = 'AR_7'
Let 'AR'(9) = 'AR_8'
Let 'AR'(10) = 'AR_9'
Let 'AR'(11) = 'AR_10'
Let 'AR'(12) = 'AR_11'
Let 'AR'(13) = 'AR_12'
Let 'AR'(14) = 'AR_13'
# Die 15. Zeile wird wegen der Zensierung übersprungen.
Let 'AR'(16) = 'AR_14'
Let 'AR'(17) = 'AR_15'
Let 'AR'(18) = 'AR_16'
Let 'AR'(19) = 'AR_17'
Let 'AR'(20) = 'AR_18'

 

Die nächste Tabelle zeigt das Zwischenergebnis mit den Spalten IR (kurz für Inverse Range) und AR (kurz für Average Range).

C1 C2-T C3 C4
  Stunden Ausfall? IR AR
1 226 Ja 20 1.0000
2 509 Ja 19 2.0000
3 538 Ja 18 3.0000
4 745 Ja 17 4.0000
5 1000 Nein  *  *
6 1261 Ja 15 5.0625
7 1375 Ja 14 6.1250
8 1478 Ja 13 7.1875
9 1540 Ja 12 8.2500
10 1619 Ja 11 9.3125
11 1655 Ja 10 10.3750
12 1696 Ja 9 11.4375
13 1741 Ja 8 12.5000
14 1790 Ja 7 13.5625
15 2000 Nein  * *
16 2310 Ja 5 14.8021
17 2326 Ja 4 16.0417
18 2568 Ja 3 17.2813
19 2867 Ja 2 18.5208
20 3426 Ja 1 19.7604

 

Mit Hilfe der AR-Werte können Sie jetzt die Wahrscheinlichkeiten nach dem Median-Rank-Verfahren schätzen.

Berechnen: Rechner

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_11

Anmerkung: Berechnen Sie alternativ die Average-Rang- und Median-Rang-Werte mit Hilfe der interaktiven Exec-Datei APS-Paket Nr. 934.

Im nächsten Schritt folgen die Transformationen.

Berechnen: Rechner

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_12

Berechnen: Rechner

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_13

Statistik: Regression: Regression: Regressionsmodell anpassen

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_14

Speichern

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_15

Form- und Skalenparameter der Weibullverteilung können jetzt durch eine entsprechende Rücktransformation der Regressionskoeffizienten, die zum Beispiel in Spalte C8 gespeichert sind, geschätzt werden.

Bearbeiten: Befehlszeileneditor

verteilungsanalyse_rechtszensierung_kleinste_quadrate_parameterschaetzung_16

Ergebnis

C1 C2-T C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9-T C10-T C11
  Stunden Ausfall? IR AR p x y Koeff. der Geradengleichung Bedeutung Parameter Schätzwert
1 226 Ja 20 1.0000 3.43% 5.42053 -3.35480 7.59661 Schnittpunkt mit der y Achse Form 1.75035
2 509 Ja 19 2.0000 8.33% 6.23245 -2.44172 0.57131 Steigung Skala 1991.43
3 538 Ja 18 3.0000 13.24% 6.28786 -1.95214
4 745 Ja 17 4.0000 18.14% 6.61338 -1.60881
5 1000 Nein  * *
*
*
*
6 1261 Ja 15 5.0625 23.35% 7.13966 -1.32477
7 1375 Ja 14 6.1250 28.55% 7.22621 -1.08997
8 1478 Ja 13 7.1875 33.76% 7.29845 -0.88693
9 1540 Ja 12 8.2500 38.97% 7.33954 -0.70560
10 1619 Ja 11 9.3125 44.18% 7.38956 -0.53954
11 1655 Ja 10 10.3750 49.39% 7.41156 -0.38424
12 1696 Ja 9 11.4375 54.60% 7.43603 -0.23628
13 1741 Ja 8 12.5000 59.80% 7.46221 -0.09277
14 1790 Ja 7 13.5625 65.01% 7.48997 0.04895
15 2000 Nein  * *
*
 *  *
16 2310 Ja 5 14.8021 71.09% 7.74500 0.21587
17 2326 Ja 4 16.0417 77.17% 7.75191 0.38993
18 2568 Ja 3 17.2813 83.24% 7.85088 0.58012
19 2867 Ja 2 18.5208 89.32% 7.96102 0.80495
20 3426 Ja 1 19.7604 95.39% 8.13915 1.12423

Anmerkung: Wenn Sie Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y) als Schätzmethode ausgewählt haben, erscheint im Wahrscheinlichkeitsnetz der Korrelationskoeffizient. Auch dieser kann mit Hilfe der Spalten x und y über das Haupmenü nachvollzogen werden (Statistik: Statistische Standardverfahren: Korrelation):

Korrelation nach Pearson für x und y = 0,975

Weitere Links

Wahrscheinlichkeitsnetz
Parameter Schätzmethoden (Beispiel Weibull Verteilung)
Standardabweichung in Wahrscheinlichkeitsnetzen (Lebensdaueranalyse versus Grafik-Menü)

Hinweis zur Exec-Datei: Bitte Stellen Sie vor dem ersten Aufruf der Exec-Datei sicher, dass der Ordner C:\Temp auf Ihrem Rechner existiert. Dieses Makro ist ein Beispiel für die Automatisierungsmöglichkeiten in Minitab. Trotz aller Sorgfalt übernehmen wir keine Gewährleistung für die Richtigkeit der Berechnungen und Ergebnisse.

Question?

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1Wenn Sie Minitab 18 einsetzen, bitte beachten Sie die Hinweise in den Fußnoten.
2In Minitab 18 können Sie die Befehle mit dem Befehlszeileneditor übermitteln (Bearbeiten: Befehlszeileneditor oder Strg+L).

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