Minitab 21 - Zufallszahlen nach benutzerdefinierter CDF oder PDF

• Erstellt am 24.5.2022
• Software: Minitab 21

Die durch den Rechnerbefehl

If(XX<0;0;XX<Pi()/2;Sin(XX);1)

beschriebene Funktion ist stetig, monoton wachsend und konvergiert gegen 0 für XX → -∞ und gegen 1 für XX → ∞. Insbesondere ist sie eine kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Verteilung. Ich will Zufallszahlen erstellen, die dieser Verteilung folgen. Wie kann ich das tun?

Die entsprechenden APS-Pakete sind über unseren ADDITIVE Professional Service erhältlich. Um die Pakete zu erhalten, kontaktieren Sie unseren Support per E-Mail an Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein. oder per Telefon unter +49 6172 5905 20 jeweils unter Angabe der APS-Paketnummern 1050 und 1051.

Erläuterung

Das APS-Paket Nr. 1050 besteht aus dem lokalen Makro ADD_sup_Zufallszahlen_nach_benutzerdefinierter_CDF.mac. Für dieses lokale Makro geben Sie einen Stichprobenumfang n, Ausgabespalten aus.1-aus.m sowie eine Rechnerfunktion mit Variable XX ein, die die Voraussetzungen für eine stetige kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt:

• Monotones Wachstum
• Stetigkeit
• F(XX) → 0 für XX → -∞
• F(XX) → 1 für XX → ∞

Das Makro versucht, nach der Inversionsmethode Zufallszahlen mit der durch diese CDF beschriebenen Verteilung zu erzeugen. Bitte stellen Sie vor dem Aufruf des Makros sicher, dass das Verzeichnis C:\Temp auf Ihrem Rechner vorhanden ist.

Beispiel

Der Stichprobenumfang ist 100, die Ausgabespalten sind C1-C5, und die Verteilung ist $0$ für $x<0$, $1$ für $x\ge \frac{\pi }{2}$ wird auf dem Intervall $[0,\frac{\pi }{2}[$ durch die CDF

$F\left(x\right)=\mathrm{Sin}\left(x\right)$

beschrieben. Die dazugehörige Rechnerfunktion ist

If(XX<=0,0,XX<=Pi()/2,Sin(XX),1)

Anders als für die Ländereinstellung Deutsch (Deutschland) üblich verwenden Sie in dem String für die Rechnerfunktion beim Makroaufruf das Komma als Dezimaltrennzeichen und das Semikolon zum Trennen mehrerer Argumente innerhalb einer Rechnerfunktion. Der Befehl für den Aufruf des Makros über die Befehlszeile (die Sie mit Ansicht: Befehlszeile/Verlauf anzeigen lassen können) ist

%ADD_sup_Zufallszahlen_nach_benutzerdefinierter_CDF 100 C1-C5 "If(XX<=0,0,XX<=Pi()/2,Sin(XX),1)"

Wenn Sie jeden der erzeugten Datensätze auf einem Streudiagramm zusammen mit dem Graphen der benutzerdefinierten kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion darstellen lassen wollen, können Sie den Unterbefehl WKurve verwenden:

%ADD_sup_Zufallszahlen_nach_benutzerdefinierter_CDF 100 C1-C5 "If(XX<=0,0,XX<=Pi()/2,Sin(XX),1)";
  WKurve.

Was ist aber, wenn ich nur die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) habe, und die Berechnung der kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion (CDF) nicht oder nur sehr schwer möglich ist?

Das APS-Paket Nr. 1051 besteht aus dem lokalen Makro ADD_sup_Zufallszahlen_nach_benutzerdefinierter_PDF.mac. Für dieses lokale Makro geben Sie einen Stichprobenumfang n, Ausgabespalten aus.1-aus.m sowie eine Rechnerfunktion mit Variable XX ein, die die Voraussetzungen für eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (oder einer Funktion, die sich nur um einen konstanten Faktor > 0 von einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion unterscheidet):

• Keine negativen Werte
• Die Funktion ist nicht identisch 0
• Stetigkeit
• F(XX) → 0 für XX → -∞
• F(XX) → 0 für XX → ∞

Das Makro versucht, eine numerische Integration der Funktion durchzuführen, um ihre Stammfunktion mit einer stückweise linearen Funktion zu approximieren und dann nach der Inversionsmethode Zufallszahlen mit Hilfe dieser Näherungsfunktion zu erzeugen. Auch für dieses Makro wird das Verzeichnis C:\Temp benötigt.

Beispiel

Der Stichprobenumfang ist 100, die Ausgabespalten sind C1-C5, und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Verteilung ist ein konstantes Vielfaches der Funktion

$e^{-\frac{{(x-100)}^2}{2*{0.1}^2}}+\frac{1}{2}*e^{-\frac{{(x-99.5)}^2}{2*{0.15}^2}}$

(mit Konstante > 0), was der Rechnerfunktion

Exp(-(XX-100)^2/(2*0.1^2))+1/2*Exp(-(XX-99.5)^2/(2*0.15^2))

entspricht. Der Befehl für den Aufruf des Makros über die Befehlszeile (die Sie mit Ansicht: Befehlszeile/Verlauf anzeigen lassen können) ist

%ADD_sup_Zufallszahlen_nach_benutzerdefinierter_PDF.mac" 100 C1-C10 "Exp(-(XX-100)^2/(2*0.1^2))+1/2*Exp(-(XX-99.5)^2/(2*0.15^2))"

Wenn Sie jeden der erzeugten Datensätze auf je einem Histogramm zusammen mit dem Graphen der benutzerdefinierten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion darstellen lassen wollen, können Sie den Unterbefehl Histogramm verwenden:

%ADD_sup_Zufallszahlen_nach_benutzerdefinierter_PDF.mac" 100 C1-C10 "Exp(-(XX-100)^2/(2*0.1^2))+1/2*Exp(-(XX-99.5)^2/(2*0.15^2))";
  Histogramm.

Diese Makros sind Beispiele für die Automatisierungsmöglichkeiten in Minitab. Trotz aller Sorgfalt übernehmen wir keine Gewährleistung für die Richtigkeit der Berechnungen und Ergebnisse.