Minitab 21 - Bedeutung der Konfidenzbänder in Wahrscheinlichkeitsnetzen

• Erstellt am 13.9.2012
• Überarbeitet am 30.11.2022
• Software: Minitab 21, 20, 19, 18

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Was bedeuten die Konfidenzbänder in Wahrscheinlichkeitsnetzen?

Unter

Grafik: Wahrscheinlichkeitsnetz

und

Statistik: Qualitätswerkzeuge: Identifikation der Verteilung

gibt es die Möglichkeit, sich zweiseitige Konfidenzbänder mit ausgeben zu lassen. Unter

Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung)

und

Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (beliebige Zensierung)

können Sie sich, wenn Sie Maximum-Likelihood als Schätzmethode ausgewählt haben, auch einseitige Konfidenzbänder mit ausgeben lassen. Wir versuchen, deren Bedeutung an einem kleinen Beispiel zu erläutern. Die zugehörigen Bilder können Sie im Downloadbereich herunterladen. Für unser Beispiel haben wir eine Verteilungsanalyse (Rechtszensierung) durchgeführt.

Die Gerade stellt die geschätzte Verteilungskurve dar und schätzt pro Prozentsatz ein zugehöriges Perzentil. Wir betrachten als Beispiel das 50%-Perzentil. Im Bild wird das 50%-Perzentil auf 0.118407 geschätzt). Für dieses Perzentil wird ein Konfidenzintervall geschätzt (siehe rote Linie, beim einseitigen Konfidenzintervall kann diese ins unendliche verlängert gedacht werden). Die Grenzen des Konfidenzintervalls entsprechen den Punkten auf den Konfidenzbändern bei 50%, das heißt die Untergrenze liegt bei -0.219942 und die Obergrenze bei 0,456756. In unserem Beispiel handelt es sich um ein 95%-Konfidenzintervall, dass wir einmal als zweiseitiges und einmal als zweiseitiges Konfidenzintervall ausgegeben haben. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt das im zweiseitigen Fall das wahre 50%-Perzentil zwischen den Werten -0.219942 und 0,456756. Mit einer Wahrscheinlichkeit von je 2,5% ist das wahre 50%-Perzentil kleiner als -0.219942 oder größer als 0,456756. In dem Wahrscheinlichkeitsnetz für den einseitigen Fall (untere Grenze) ist das 95%-Konfidenzintervall für das 50%-Perzentil nicht nach oben beschränkt und besitzt eine untere Grenze bei dem Wert -0,165545. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt das wahre 50%-Perzentil oberhalb dieser Grenze, und mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% unterhalb.

Warum liegt das einseitige untere Konfidenzband näher an der Verteilungskurve als die beidseitigen Konfidenzbänder?

Wenn man die Werte an den Grenzen betrachtet, fällt auf, dass das untere 95%-Konfidenzband beim zweiseitigen Fall weiter weg von der Geraden ist als das untere 95%-Konfidenzband für den einseitigen Fall. Dass liegt daran, dass beim zweiseitigen Fall das wahre Perzentil mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5% oberhalb, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% unterhalb dieser Grenze liegt. Das obere 95%-Konfidenzband des Perzentils im beidseitigen Fall ist identisch mit dem oberen 97,5%-Konfidenzintervall im einseitigen Fall.

95%-Konfidenzbänder (beidseitig)	95%-Konfidenzband (einseitig, Untergrenze)
97,5%-Konfidenzband (einseitig, Untergrenze)

Was bedeuten die Konfidenzbänder in Wahrscheinlichkeitsnetzen nicht?

Wie auf den Bildern oben am Beispiel des 50%-Perzentils gezeigt, entsprechen die zur Daten-Achse parallelen Verbindungslinien zwischen dem unteren und dem oberen Konfidenzband den Konfidenzintervallen für das Perzentils des dazugehörenden Wertes auf der Wahrscheinlichkeits-Achse. Die Konfidenzbänder geben allerdings keine Information über die Konfidenzintervalle der geschätzten Wahrscheinlichkeiten zu einem gegebenen Daten-Wert. Es ist nicht möglich, durch das Einzeichnen einer zur Wahrscheinlichkeitsachse parallelen Linie auf Höhe eines Wertes der Datenachse ein Konfidenzintervall für die geschätzte Wahrscheinlichkeit abzulesen. Das folgende Bild zeigt das am Beispiel des Datenwertes 0,5. Das Konfidenzintervall hat Minitab für den Beispieldatensatz wie folgt geschätzt.

Tabelle der kumulierten Ausfallwahrscheinlichkeiten

Die Referenzlinien an den Prozentsätzen aus der Tabelle der kumulierten Ausfallwahrscheinlichkeiten, 75,7727%, 50,3047% und 91,7794%, hat nicht die gleichen Schnittpunkte mit den Konfidenzbändern hat wie die parallele Linie zur Prozent-Achse durch den Datenwert 0,5. Diese rote Linie entspricht also nicht dem Konfidenzintervall für diese Wahrscheinlichkeit, das zum Vergleich auf der rechten Prozent-Achse eingezeichnet ist.

Als Faustregel könnte man sagen, dass man durch waagerechte Verbindungslinien zwischen den Konfidenzbändern Konfidenzintervalle erhalten kann, durch senkrechte Verbindungslinien aber nicht.

Wie können einzelne Werte der Konfidenzbänder in eine Spalte gespeichert werden?

Direkt aus der Grafik können Sie die Konfidenzbänder mit dem Befehl kopieren und in Spalten den Arbeitsblatts einfügen.

Wie erhalte ich die Werte in höherer Auflösung?

Auf dem Dialogfeld zur verteilungsgebundenen Analyse gibt es einen Button Schätzen und einen Button Speichern. Der Button Schätzen führt zum Unterdialog Verteilungsgebundene Analyse: Schätzen. Die gewünschten Perzentile können im Feld Perzentile für diese zusätzlichen Prozentsätze schätzen eingegeben werden. Der Button Speichern führt zum Unterdialog Verteilungsgebundene Analyse: Speichern. Wenn hier die Checkboxen Prozentsätze für Perzentile und Konfidenzgrenzen für Perzentile aktiviert werden, werden die im Dialogfeld Schätzen angegebenen Prozentsätze und die dazugehörigen Konfidenzgrenzen zusammen mit einigen standardmäßig voreingestellten Prozentsätzen und den dazugehörigen Konfidenzgrenzen in Spalten des Arbeitsblattes gespeichert.

Wenn das Wahrscheinlichkeitsnetz über das Menü Grafik: Wahrscheinlichkeitsnetz erstellt worden ist, können Sie für einige der Verteilungen auf die Verteilungsgebundene Analyse (Rechtszensierung) ohne Zensierungsspalte und mit der Schätzmethode Maximum-Likelihood (im Unterdialog Schätzen) zurückgreifen.

Im Fall der Normal- und der Lognormalverteilung sollten die Hinweise aus dem Artikel Standardabweichung in Wahrscheinlichkeitsnetzen (Lebensdaueranalyse versus Grafik-Menü) beachtet werden. Die in diesem Fall abweichenden Parameterschätzwerte könnte man hier im Feld Historische Schätzwerte verwenden des Unterdialogs Verteilungsgebundene Analyse: Optionen eingeben.

Nach welchem Verfahren werden die Konfidenzbänder berechnet?

Die Konfidenzbänder werden mit Hilfe der geschätzten Perzentile und der Standardfehler der Perzentile berechnet. Die Standardfehler der Perzentile werden wiederum basierend auf den Standardfehlern der Verteilungsparameter berechnet. Diese ergeben sich aus den Wurzeln der Diagonalelemente der inversen beobachteten Fisher-Information. Informationen zur Berechnung der Konfidenzbänder finden Sie auf der Seite Methoden und Formeln für Perzentile in Verteilungsgebundene Analyse (Rechtszensierung) - Konfidenzgrenzen für Perzentile der Online-Hilfe für Minitab. Am Beispiel eines Weibull-verteilten Datensatzes haben wir die Berechnung der Konfidenzbänder nachvollzogen und für unsere Kunden, die einen ADDITIVE Professional Support-Vertrag abgeschlossen haben, ein Projekt mit den Berechnungen im Downloadbereich dieses Artikels zur Verfügung gestellt. Die Formeln für einzelne Spalten können durch einen Doppelklick auf den grünen Haken oberhalb der jeweiligen Spalte eingesehen werden.