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Minitab 22 - Koeffizienten in einem allgemeinen vollfaktoriellen Versuchsplan

  • Erstellt am 22.8.2012
  • Überarbeitet am 29.4.2024
  • Software: Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17

Wie werden in einem Allgemeinen Vollfaktoriellen Versuchsplan die Koeffizienten und Anpassungen für das Regressionsmodell berechnet?

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Erläuterung

Während der Analyse wird eine von der Angabe des Modells abhängige Versuchsplanmatrix berechnet, aus welcher dann zusammen mit der Antwortvariable die Koeffizienten berechnet werden. Im Anhang gehen wir darauf etwas detaillierter ein. Bei einem vollständigen Modell, welches alle Haupteffekte und Wechselwirkungen enthält, zeigen wir hier am Beispiel eines faktoriellen Versuchsplans mit 2 Faktoren und 3 Stufen, wie wir auf die Koeffizienten kommen. Anbei haben wir den Beispiel-Versuchsplan samt Antwortvariable abgebildet:

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
  StdRfolge Durchlaufreihenfolge Punkttyp Blöcke A B Antwort
1 3 1 1 1 1 3 -7.08485
2 25 2 1 1 3 1 -9.09949
3 2 3 1 1 1 2 7.38554
4 7 4 1 1 3 1 -1.13773
5 13 5 1 1 2 1 1.34893
6 19 6 1 1 1 1 8.07235
7 24 7 1 1 2 3 -12.5049
8 1 8 1 1 1 1 2.18077
9 15 9 1 1 2 3 -8.00147
10 6 10 1 1 2 3 -1.76389
11 17 11 1 1 3 2 -0.341926
12 27 12 1 1 3 3 -12.1745
13 5 13 1 1 2 2 2.30066
14 12 14 1 1 1 3 8.17707
15 23 15 1 1 2 2 -1.56263
16 8 16 1 1 3 2 -7.82537
17 16 17 1 1 3 1 2.07941
18 20 18 1 1 1 2 7.63673
19 22 19 1 1 2 1 5.27809
20 18 20 1 1 3 3 -2.42239
21 4 21 1 1 2 1 10.0102
22 9 22 1 1 3 3 -11.0578
23 11 23 1 1 1 2 9.83011
24 21 24 1 1 1 3 -4.4339
25 10 25 1 1 1 1 11.2618
26 26 26 1 1 3 2 0.859826
27 14 27 1 1 2 2 2.98946

 

Wenn Sie den Versuchsplan analysieren, erhalten Sie dieses Ergebnis.

ARBEITSBLATT 1

Allgemeine faktorielle Regression: Antwort vs. A; B

 

Faktorinformationen

FaktorStufenWerte
A 3 1; 2; 3
B 3 1; 2; 3

Varianzanalyse

QuelleDFKor SSKor MSF-Wertp-Wert
Modell 8 885,49 110,69 4,38 0,004
  Linear 4 836,24 209,06 8,28 0,001
    A 2 393,97 196,98 7,80 0,004
    B 2 442,27 221,14 8,76 0,002
  2-Faktor-Wechselwirkungen 4 49,25 12,31 0,49 0,745
    A*B 4 49,25 12,31 0,49 0,745
Fehler 18 454,41 25,24    
Gesamt 26 1339,90      

Zusammenfassung des Modells

SR-QdR-Qd(kor)R-Qd(prog)
5,02443 66,09% 51,01% 23,69%

Koeffizienten

TermKoefSE Koeft-Wertp-WertVIF
Konstante -0,000 0,967 -0,00 1,000  
A          
  1 4,78 1,37 3,50 0,003 1,33
  2 -0,21 1,37 -0,15 0,879 1,33
B          
  1 3,33 1,37 2,44 0,025 1,33
  2 2,36 1,37 1,73 0,101 1,33
A*B          
  1 1 -0,94 1,93 -0,49 0,632 1,78
  1 2 1,14 1,93 0,59 0,563 1,78
  2 1 2,42 1,93 1,25 0,226 1,78
  2 2 -0,91 1,93 -0,47 0,644 1,78

Regressionsgleichung

Antwort = -0,000 + 4,78 A_1 - 0,21 A_2 - 4,57 A_3 + 3,33 B_1 + 2,36 B_2 - 5,70 B_3
- 0,94 A*B_1 1 + 1,14 A*B_1 2 - 0,20 A*B_1 3 + 2,42 A*B_2 1 - 0,91 A*B_2 2
- 1,52 A*B_2 3 - 1,48 A*B_3 1 - 0,23 A*B_3 2 + 1,71 A*B_3 3

Anpassungen und Bewertung für ungewöhnliche Beobachtungen

BeobAntwortAnpassungResidStd.
Resid
 
14 8,18 -1,11 9,29 2,26 R
R  Großes Residuum

Die Koeffizienten, die in der Tabelle erscheinen, sind Koeffizienten für ein Regressionsmodell für die Antwortvariable. Dieses ist Zusammengesetzt aus den folgenden vier Untermodellen:

  • Modell 1: A = {2,3}, B = {2,3}
  • Modell 2: A = {1,3}, B = {2,3}
  • Modell 3: A = {2,3}, B = {1,3}
  • Modell 4: A = {1,3}, B = {1,3}.

Bildlich könnten Sie es so darstellen:

koeff_vfaktor_versuchsplan_01

Die Koeffizienten sind jetzt folgenden Modellen zuzuordnen:

Konstante: Alle Modelle.

Haupteffekte

A 1: Modell 2 und 4
A 2: Modell 1 und 3

B 1: Modell 3 und 4
B 2: Modell 1 und 2

Wechselwirkungen

A 1 B 1: Modell 4
A 2 B 1: Modell 3
A 1 B 2: Modell 2
A 2 B 2: Modell 1.

Die ausgegebenen Koeffizienten könnten Sie so auf die obere Zeichnung auftragen:

koeff_vfaktor_versuchsplan_02

Anmerkung

Die Regressionsgleichung zeigt neben den Koeffizienten für die Stufen 1 und 2 auch Koeffizienten für die Stufe 3 an. Weil diese hier die Referenzstufe ist, erscheinen diese nicht in der Tabelle der Koeffizienten, wenn Sie die Option Standardkoeffizienten in der Auswahlleiste Koeffizienten im Unterdialog Ergebnisse des Werkzeugs Faktoriellen Versuchsplan analysieren ausgewählt haben.

Wie kommen diese Werte zu Stande?

Dazu erst einmal ein Exkurs zu den zweistufigen Faktoriellen Versuchsplänen.

In einem vollständigen Versuchsplanmodell A, B, A*B mit zwei Stufen erhält der Wert mit der Kodierung -1 auch die Gewichtung -1, und der Wert mit der Kodierung +1 erhält die Gewichtung +1. Dann werden die stufenweise Mittelwerte

  • Mean(Y)A,-
  • Mean(Y)A,+
  • Mean(Y)B,-
  • Mean(Y)B,+
  • Mean(Y)A*B,-
  • Mean(Y)A*B,+

der Antwortvariablen gebildet und die Koeffizienten nach den Formeln

  • Koef(A) = Mean(Y)A,+ - Mean(Y)A,-
  • Koef(B) = Mean(Y)B,+ - Mean(Y)B,-
  • Koef(A*B) = Mean(Y)A*B,- - Mean(Y)A*B,-

berechnet.

Sie könnten auch anders herangehen und gleich Spalten "Gewichtung(A)" und "Gewichtung(B)" mit den Gewichtungen erstellen und dann die Koeffizienten auf diese Weise berechnen:

  • Koef(A) = MW(Gewichtung(A)*Y)
  • Koef(B) = MW(Gewichtung(B)*Y)
  • Koef(A*B) = MW(Gewichtung(A)*Gewichtung(B)*Y)

Anders ausgedrückt: Sie gewichten die Antwortvariable mit den Werten ±1 und nehmen dann den Mittelwert, um den entsprechenden Koeffizienten zu erhalten. Dies können Sie jetzt auf Faktoren mit mehr als 2 Stufen verallgemeinern. Betrachten wir einen Versuchsplan mit zwei Faktoren A1 und A2 mit k1 und k2 Stufen. Faktor A1 hat jetzt k1-1 Freiheitsgrade, Faktor A2 hat k2-1 Freiheitsgrade, und der
Wechselwirkungsterm hat (k1-1)*(k2-1) Freiheitsgrade.

Wir nehmen jetzt Faktor A1 mit Stufe j, 1≤j≤k1-1. Die Gewichtungsspalte würde hier den Wert k1-1 an der Stelle mit der Kodierung j und -1 an den anderen Stellen haben.

In dem Beispiel zu dieser FAQ mit k1=k2=3 sähe die Gewichtungsspalte für den Faktor A und der Stufe 1 so aus:

C5 C6 C7 C11
  A B Antwort Gewichtung (A, 1)
1 1 3 -7.08485 2
2 3 1 -9.09949 -1
3 1 2 7.38554 2
4 3 1 -1.13773 -1
5 2 1 1.34893 -1
6 1 1 8.07235 2
7 2 3 -12.5049 -1
8 1 1 2.18077 2
9 2 3 -8.00147 -1
10 2 3 -1.76389 -1
11 3 2 -0.341926 -1
12 3 3 -12.1745 -1
13 2 2 2.30066 -1
14 1 3 8.17707 2
15 2 2 -1.56263 -1
16 3 2 -7.82537 -1
17 3 1 2.07941 -1
18 1 2 7.63673 2
19 2 1 5.27809 -1
20 3 3 -2.42239 -1
21 2 1 10.0102 -1
22 3 3 -11.0578 -1
23 1 2 9.83011 2
24 1 3 -4.4339 2
25 1 1 11.2618 2
26 3 2 0.859826 -1
27 2 2 2.98946 -1

 

Der Koeffizient Koef(A,1) wird jetzt berechnet, indem Sie die Spalten Antwort und Gewichtung (A,1) miteinander multiplizieren und den Mittelwert aus dem Ergebnis berechnen:

C11 C12 C13
  Gewichtung (A, 1) Gewichtung(A,1)*Antwort Koef A, 1
1 2 -14.1697 4.78062
2 -1 9.09949  
3 2 14.7711  
4 -1 1.13773  
5 -1 -1.34893  
6 2 16.1447  
7 -1 12.5049  
8 2 4.36154  
9 -1 8.00147  
10 -1 1.76389  
11 -1 0.341926  
12 -1 12.1745  
13 -1 -2.30066  
14 2 16.3541  
15 -1 1.56263  
16 -1 7.82537  
17 -1 -2.07941  
18 2 15.2735  
19 -1 -5.27809  
20 -1 2.42239  
21 -1 -10.0102  
22 -1 11.0578  
23 2 19.6602  
24 2 -8.86779  
25 2 22.5235  
26 -1 -0.859826  
27 -1 -2.98946  

 

Anhang

Im Anhang beschreiben wir kurz, wie mit Hilfe der berechneten Koeffizienten und der sogenannten Versuchsplanmatrix das Modell berechnet wird. Im zweiten Abschnitt gehen wir auf die Berechnung der Koeffizienten im Falle von reduzierten Modellen ein. Auch hier wird die sogenannte Versuchsplanmatrix verwendet. Die Versuchsplanmatrix ist abhängig vom angegebenen Modell.

(1) Berechnung der Anpassungen

Während der Analyse des Versuchsplans können Sie die Versuchsplanmatrix und die Modellkoeffizienten ins Arbeitsblatt speichern lassen. Die Koeffizienten erscheinen als Spalte im Arbeitsblatt. Die Versuchsplanmatrix können Sie sich über Daten: Daten anzeigen im Sessionfenster anzeigen lassen und über Daten: Kopieren: Matrix in Spalten in Spalten des Arbeitsblattes kopieren.

Die Spalte Koeffizienten hat in unserem Beispiel 9 Zeilen, und die Versuchsplanmatrix hat 9 Spalten.

Die Anpassungen werden jetzt so berechnet:

Anpassungen = 'XMAT1_1'*'Koeffizienten'[1]
+'XMAT1_2'*'Koeffizienten'[2]
+'XMAT1_3'*'Koeffizienten'[3]
+'XMAT1_4' *'Koeffizienten'[4]
+'XMAT1_5'*'Koeffizienten'[5]
+'XMAT1_6'*'Koeffizienten'[6]
+'XMAT1_7'*'Koeffizienten'[7]
+'XMAT1_8'*'Koeffizienten'[8]
+'XMAT1_9'*'Koeffizienten'[9]

C3 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C15
  Koeffizienten XMAT1_1 XMAT1_2 XMAT1_3 XMAT1_4 XMAT1_5 XMAT1_6 XMAT1_7 XMAT1_8 XMAT1_9 Anpassungen
1 -0.00000 1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0 -1.11389
2 4.78062 1 -1 -1 1 0 -1 0 -1 0 -2.71927
3 -0.21173 1 1 0 0 1 0 1 0 0 8.28413
4 3.33270 1 -1 -1 1 0 -1 0 -1 0 -2.71927
5 2.36360 1 0 1 1 0 0 0 1 0 5.54574
6 -0.94169 1 1 0 1 0 1 0 0 0 7.17163
7 1.13991 1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 -7.42342
8 2.42477 1 1 0 1 0 1 0 0 0 7.17163
9 -0.90937 1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 -7.42342
10   1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1 -7.42342
11   1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1 -2.43582
12   1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -8.55158
13   1 0 1 0 1 0 0 0 1 1.2425
14   1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0 -1.11389
15   1 0 1 0 1 0 0 0 1 1.2425
16   1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1 -2.43582
17   1 -1 -1 1 0 -1 0 -1 0 -2.71927
18   1 1 0 0 1 0 1 0 0 8.28413
19   1 0 1 1 0 0 0 1 0 5.54574
20   1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -8.55158
21   1 0 1 1 0 0 0 1 0 5.54574
22   1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -8.55158
23   1 1 0 0 1 0 1 0 0 8.28413
24   1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0 -1.11389
25   1 1 0 1 0 1 0 0 0 7.17163
26   1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1 -2.43582
27   1 0 1 0 1 0 0 0 1 1.2425

 

(2) Berechnung der Koeffizienten bei nicht notwendigerweise vollständigen Modellen unter Verwendung der Versuchsplanmatrix

Zur besseren Nachvollziehbarkeit haben wir hier die Versuchsplanmatrix mit Hilfe des Sessionbefehls Name in X genannt. In Minitab gibt es unter Berechnen: Matrizen die Möglichkeit, mit Matrizen zu rechnen. Wir gehen bei der Berechnung der Koeffizienten so vor, wie es das folgende Bildschirmvideo zeigt.

Ihr Servicepartner die ADDITIVE GmbH stellt allen ADDITIVE Kunden, die einen ADDITIVE Professional Support gekauft haben kostenfrei ein Minitab-Projekt zur Verfügung, in welchem das Beispiel zu dieser FAQ abgespeichert ist.

Siehe auch

Determinante von Xt*X
Spur von Xt*X oder (Xt*X)-1

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