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\begin{document}


\title{Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr\"osse.\footnote{Riemann's
gesammelte mathematische Werke.}}
\author{Bernhard Riemann}
\maketitle
\section{(Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859)}\label{note:A+}

Meinen Dank f\"ur die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch
die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen,
glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dass ich von
der hierdurch erhaltenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache durch
Mittheilung einer Untersuchung \"uber die H\"aufigkeit der Primzahlen;
ein Gegenstand, welcher durch das Interesse, welches Gauss und Dirichlet
demselben l\"angere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung
vielleicht nicht ganz unwerth erscheint.

Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von Euler
gemachte Bemerkung, dass das Product
\[
\prod \frac{1}{1-\frac{1}{p^{s}}}=\sum \frac{1}{n^{s}},
\]

\noindent wenn f\"ur $p$ alle Primzahlen, f\"ur $n${\itshape  }alle
ganzen Zahlen gesetzt werden. Die Function der complexen Ver \"anderlichen
$s${\itshape , }welche durch diese beiden Ausdr\"ucke, so lange
sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch $\zeta (
s) $. Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von $s${\itshape
}gr\"osser als $1$ ist; es l\"asst sich indess leicht ein immer
g\"ultig bleibender Ausdruck der Function finden. Durch Anwendung
der Gleichung{\itshape  }
\[
\operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty }e^{-nx }x^{s-1 }\operatorname{dx}=\frac{\prod
\left( s-1\right) }{n^{s}}
\]

\noindent erh\"alt man zun\"achst
\[
\prod \left( s-1\right) \zeta ( s) =\operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty
}\frac{x^{s-1}dx}{e^{x}-1.}
\]

\noindent Betrachtet man nun das Integral
\[
\int \frac{\left( -x\right) ^{s-1}dx}{e^{x}-1}
\]

\noindent von $+ \infty $ bis $+ \infty $ positiv um ein Gr\"ossengebiet
erstreckt, welches den Werth $0$, aber keinen andern Unstetigkeitswerth
der Function unter dem Integralzeichen im Innern enth\"alt, so ergiebt
sich dieses leicht gleich
\[
\left( e^{-\pi si}-e^{\pi si}\right) \operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty
}\frac{x^{s-1}dx}{e^{x}-1},
\]

\noindent vorausgesetzt, dass in der vieldeutigen Function $(-x)^{s-1}=e^{(s-1)
\log ( -x) }$ der Logarithmus von $ -x$ so bestimmt worden ist,
dass er f\"ur ein negatives $x$ reell wird. Man hat daher
\[
2\sin  \pi s \prod \left( s-1\right) \zeta  \left( s\right) =i\operatorname*{\int
}\limits_{\infty }^{\infty }\frac{\left( -x\right) ^{s-1}dx}{e^{x}-1}
\]

\noindent das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden.

Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function $\zeta ( s) $ f\"ur
jedes beliebige complexe $s$ und zeigt, dass sie einwerthig und
f\"ur alle endlichen Werthe von $s$, ausser $1$, endlich ist, so
wie auch, dass sie verschwindet, wenn $s$ gleich einer negativen
geraden Zahl ist.

Wenn der reelle Theil von $s$ negative ist, kann das Integral, $statt$
positiv um das angegebene Gr\"ossengebiet auch negativ um das Gr\"ossengebiet,
welches s\"ammtliche \"ubrigen complexen Gr\"ossen enth\"alt, erstreckt
werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich grossem Modul
dann unendlich klein ist. Im Innern dieses Gr\"ossengebiets aber
wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn $x$
gleich einem ganzen Vielfachen von $+ 2m i$ wird und das Integral
ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe
genommen. Das Integral um den Werth $n2\pi i$ aber ist $(=(-n2\pi
i))^{s-1} (-2\pi  i)$, man erh\"alt daher 
\[
2\sin  \pi s \prod \left( s-1\right) \zeta  \left( s\right) =\left(
2\pi \right) ^{s}\sum n^{s-1}( \left( -i\right) ^{s-1}+i^{s-1})
,
\]

\noindent also eine Relation zwischen $\zeta ( s) $ und $\zeta (
1-s) ,$ welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function
$\prod $ auch so ausdr\"ucken l\"asst:
\[
\prod \left( \frac{s}{2}-1\right)  \pi ^{-\frac{s}{2}}\zeta  \left(
s\right) 
\]

\noindent bleibt unge\"andert, wenn $s$ in $1-s$ verwandelt wird.

Diese Eigenschaft der Function veranlasste mich statt $\prod (s-1)$
das Integral $\prod (\frac{s}{2}-1)$ in dem allgemeinen Gliede der
Reihe $\sum \frac{1}{n^{s}}$einzuf\"uhren, wodurch man einen sehr
bequemen Ausdruck der Function $\zeta ( s) $ erh\"alt. In der That
hat man
\[
\frac{1}{n^{s}}\prod \left( \frac{s}{2}-1\right)  \pi ^{-\frac{s}{2}}=
\operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty }e^{-nn\pi x}x^{\frac{s}{2}-1}dx,
\]

\noindent also, wenn man
\[
\sum \limits_{1}^{\infty }e^{-nn\pi x}=\psi ( x) 
\]

\noindent setzt,
\[
\prod \left( \frac{s}{2}-1\right)  \pi ^{-\frac{s}{2}}\zeta ( s)
=\operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty }\psi ( x) x^{\frac{s}{2}-1}dx,
\]

\noindent oder da
\[
2\varphi ( x) =x^{\frac{-1}{2}}( 2\varphi ( \frac{1}{x}) +1) ,
\]

\noindent (Jacobi, Fund. S. 184)\footnote{Jacobi's gesammelte Werke
Bd. I. S. 255}
\begin{multline*}
\prod \left( \frac{s}{2}-1\right)  \pi ^{-\frac{s}{2}}\zeta ( s)
=\operatorname*{\int }\limits_{1}^{\infty }\psi ( x) x^{\frac{s}{2}-1}dx+\operatorname*{\int
}\limits_{0}^{1}\psi ( \frac{1}{x}) x^{\frac{s-3}{2}}dx+\frac{1}{2}\operatorname*{\int
}\limits_{0}^{1}\left( x^{\frac{s-3}{2}}-x^{\frac{s}{2}-1}\right)
dx=\\
\frac{1}{s( s-1) }+ \operatorname*{\int }\limits_{1}^{\infty }\psi
( x) \left( x^{\frac{s}{2}-1}+x^{-\frac{1+s}{2}}\right) dx.
\end{multline*}

\noindent Ich setze nun $s= \frac{1}{2}+ ti $und
\[
\prod \left( \frac{s}{2}\right) \left( s-1\right)  \pi ^{-\frac{s}{2}}\zeta
( s) =\xi ( t) ,
\]

\noindent so dass
\[
\xi ( t) =\frac{1}{2}-\left( tt+\frac{1}{4}\right) \operatorname*{\int
}\limits_{1}^{\infty }\psi ( x) x^{-\frac{3}{4}}\cos ( \frac{1}{2}t
\log  x) dx
\]

\noindent oder auch
\[
\xi ( t) =4\operatorname*{\int }\limits_{1}^{\infty }\frac{d( x^{\frac{3}{2}}\mu
^{\prime }( x) ) }{dx}x^{-\frac{1}{4}}\cos ( \frac{1}{2}t \log 
x) dx.
\]

\noindent Diese Function ist f\"ur alle endlichen Werthe von $t$
endlich, und l\"asst sich nach Potenzen von $tt$ in eine sehr schnell
convergirende Reihe entwickeln. Da f\"ur einen Werth von $s$, dessen
reeller Bestandtheil gr\"osser als $1$ ist, $\log  \zeta ( s) =-\sum
\log ( 1-p^{-s}) $ endlich bleibt, und von den Logarithmen der \"ubrigen
Factoren von $\xi ( t) $ dasselbe gilt, so kann die Function $\xi
( t) $ nur verschwinden, wenn der imagin\"are Theil von $t$ zwischen
$\frac{1}{2}i$ und $-\frac{1}{2}i$ liegt. Die Anzahl der Wurzeln
von $\xi ( t) =0,$ deren reeller Theil zwischen $0$ und $T$ liegt,
ist etwa 
\[
=\frac{T}{2\pi }\log \frac{T }{2\pi }-\frac{T }{2\pi }; 
\]

\noindent denn das Integral $\int  d \log  \xi ( t)  $positiv um
den Inbegriff der Werthe von $t$ erstreckt, deren imagin\"arer Theil
zwischen $\frac{1}{2}i $und $-\frac{1}{2}i$ und deren reeller Theil
zwischen $0$ und $T$ liegt, ist (bis auf einen Bruchtheil von der
Ordnung der Gr\"osse $\frac{1}{T}$) gleich $( T \log  \frac{T}{2\pi
}- T) i$; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem
Gebiet liegenden Wurzeln von $\xi ( t) =0$ multiplicirt mit $2\pi
i$. Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb
dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln
reell sind. Hiervon w\"are allerdings ein strenger Beweis zu w\"unschen;
ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen fl\"uchtigen
vergeblichen Versuchen vorl\"aufig bei Seite gelassen, da er f\"ur
den n\"achsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. 

Bezeichnet man durch $\alpha$ jede Wurzel der Gleichung $\xi ( \alpha
) =0, $so kann man $\log  \xi ( t) $ durch
\[
\sum \log ( 1-\frac{tt}{\alpha \alpha }) + \log  \xi ( 0) 
\]

\noindent ausdr\"ucken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von
der Gr\"osse $t$ mit $t$ nur wie log $\frac{t}{2\pi }$w\"achst,
so convergirt dieser Ausdruck und wird f\"ur ein unendliches $t$
nur unendlich wie $t \log  t;$ er unterscheidet sich also von log
$\xi ( t) $ um eine Function von $tt, $die f\"ur ein endliches $t
$stetig und endlich bleibt und mit $tt$ dividirt f\"ur ein unendliches
$t$ unendlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante,
deren Werth durch Einsetzung von $t=0 $bestimmt werden kann.

Mit diesen H\"ulfsmitteln l\"asst sich nun die Anzahl der Primzahlen,
die kleiner als $x$ sind, bestimmen.

Es sei $F( x) $, wenn $x$ nicht gerade einer Primzahl gleich ist,
gleich dieser Anzahl, wenn aber $x$ eine Primzahl ist, um $\frac{1}{2}$gr\"osser,
so dass f\"ur ein $x$, bei welchem $F( x) $ sich sprungweise \"andert,
\[
F( x) =\frac{F( x+0)  +F( x-0) }{2}
\]

\noindent Ersetzt man nun in
\begin{multline*}
\log  \zeta ( s) =-\sum \log ( 1-p^{-s}) =\sum p^{-s}+ \frac{1}{2}\sum
p^{-2s}+ \frac{1}{3}\sum p^{-3s}+\ldots \\
p^{-s}\operatorname{durch} s\operatorname*{\int }\limits_{p}^{\infty
}x^{-s-1}dx,p^{-2s}\operatorname{durch} s\operatorname*{\int }\limits_{p^{2}}^{\infty
}x^{-s-1}\operatorname{dx},\ldots , 
\end{multline*}

\noindent so erh\"alt man
\[
\frac{\log  \zeta ( s) }{s}=\operatorname*{\int }\limits_{1}^{\infty
}f( x) x^{-s-1}dx,
\]

\noindent wenn man
\[
F( x)  + \frac{1}{2}F( x^{\frac{1}{2}}) +\frac{1}{3}F( x^{\frac{1}{3}})
+\ldots 
\]

\noindent durch $f (x)$ bezeichnet.

Diese Gleichnung ist g\"ultig f\"ur jeden complexen Werth $a+ \operatorname{bi}
$von $s$, wenn $a > 1$. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung
\[
g( s) =\operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty }h( x) x^{-s}d \log
x
\]

\noindent gilt, so kann man mit H\"ulfe des Fourier'schen Satzes
die Function $h$ durch die Function $g$ ausdr\"ucken. Die Gleichung
zerf\"allt, wenn $h( x) $ reell ist und
\[
g( a+bi) =g_{1}( b) +ig_{2}( b) ,
\]

\noindent in die beiden folgenden:
\begin{gather*}
g_{1}( b) =\operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty }h( x) x^{-a}\cos
\left( b \log  x\right) d \log  x,
\end{gather*}
\[
ig_{2}( b) =-i\operatorname*{\int }\limits_{0}^{\infty }h( x) x^{-a}\sin
\left( b \log  x\right) d \log  x.
\]

\noindent Wenn man beide Gleichungen mit
\[
\left( \cos ( b \log  y)  + i \sin  \left( b \log  y\right) \right)
\operatorname{db}
\]

\noindent multiplicirt und von $-\infty $ bis $+\infty $ integrirt,
so erh\"alt man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier'schen
Satze $\pi  h (y) y^{-a}$, also, wenn, man beide Gleichungen addirt
und mit $iy^{a }$multiplicirt,
\[
2\pi ih( y) =\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty i}^{a+\infty
i}g( s) y^{s}ds,
\]

\noindent worin die Integration so auszuf\"uhren ist, dass der reelle
Theil von $s$ constant bleibt.

Das Integral stellt f\"ur einen Werth von $y$, bei welchen eine
sprungweise Aenderung der Function $h (y)$ stattfindet, den Mittelwerth
aus den Werthen der Function $h$ zu beiden Seiten des Sprunges dar.
Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function $f( x)
$ besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher v\"ollig
allgemein 
\[
f( y) =\frac{1}{2\pi i}\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty i}^{a+\infty
i}\frac{\log  \zeta ( s) }{8}y^{s}ds.
\]

\noindent F\"ur $\log  \zeta $ kann man nun den fr\"uher gefundenen
Ausdruck 
\[
\frac{s}{2}\log  \pi -\log ( s-1) -\log  \prod \left( \frac{s}{2}\right)
+\sum ^{\alpha }\log ( 1+\frac{\left( s-\frac{1}{2}\right) ^{2}}{\alpha
\alpha }) +\log  \xi ( 0) 
\]

\noindent substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses
Ausdrucks w\"urden aber dann ins Unendliche ausgedehnt nicht convergiren,
weshalb es zweckm\"assig ist, die Gleichung vorher durch partielle
Integration in
\begin{equation}
f( x) =-\frac{1}{2\pi i}\frac{1 }{\log  x}\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty
i}^{a+\infty i}\frac{d\log  \frac{\zeta ( s) }{s}}{ds}x^{s}ds
\end{equation}

\noindent umzuformen.

Da
\[
-\log  \prod \left( \frac{s}{2}\right) =\lim ( \overset{n=m}{\sum
\limits_{n=1}}\log ( 1+\frac{s}{2n}) -\frac{s}{2}\log  m) ,
\]

\noindent f\"ur $m=\infty $, also
\[
-\frac{d\frac{1}{s}\log \prod \left( \frac{s}{2}\right) }{ds}=\overset{\infty
}{\sum \limits_{1}}\frac{d\frac{1}{s}\log ( 1+\frac{s}{2n}) }{ds},
\]

\noindent so erhalten dann s\"ammtliche Glieder des Ausdruckes f\"ur
$f( x) $ mit Ausnahme von
\[
\frac{1}{2\pi i}\frac{1 }{\log  x}\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty
i}^{a+\infty i}\frac{1}{ss}\log  \xi ( 0) x^{s}\operatorname{ds}=\log
\xi ( 0)  
\]

\noindent die Form
\[
+\frac{1}{2\pi i}\frac{1 }{\log  x}\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty
i}^{a+\infty i}\frac{d( \frac{1}{s}\log  \left( 1-\frac{s}{\beta
}\right) ) }{ds}x^{s}ds.
\]

\noindent Nun ist aber
\[
\frac{d( \frac{1}{s}\log  \left( 1-\frac{s}{\beta }\right) ) }{d\beta
}=\frac{1}{\left( \beta -s\right) \beta ^{\prime }}
\]

\noindent und, wenn der reelle Theil von $s$ gr\"osser als der reelle
Theil von $\beta $ ist,
\[
-\frac{1}{2\pi i}\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty i}^{a+\infty
i}\frac{x^{s}ds}{\left( \beta -s\right) \beta }=\frac{x^{\beta }}{\beta
}=\operatorname*{\int }\limits_{\infty }^{x}x^{\beta -1}dx,
\]

\noindent oder
\[
=\operatorname*{\int }\limits_{0}^{x}x^{\beta -1}dx,
\]

\noindent je nachdem der reelle Theil von $\beta $ negativ oder
positiv ist. Man hat daher
\begin{multline*}
\frac{1}{2\pi i}\frac{1 }{\log  x}\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty
i}^{a+\infty i}\frac{d( \frac{1}{s}\log  \left( 1-\frac{s}{\beta
}\right) ) }{ds}x^{s}\operatorname{ds}\\
=-\frac{1}{2\pi i}\operatorname*{\int }\limits_{a-\infty i}^{a+\infty
i}\frac{1}{s}\log  \left( 1-\frac{s}{\beta }\right) x^{s}ds=\operatorname*{\int
}\limits_{0}^{x}\frac{x^{\beta -1}}{\log  x}dx+ \operatorname{const}.
\operatorname{im} \operatorname{ersten}
\end{multline*}

\noindent und
\[
=\operatorname*{\int }\limits_{0}^{x}\frac{x^{\beta -1}}{\log  x}dx+
\operatorname{const}. \operatorname{im} \operatorname{zweiten} \operatorname{Falle}.
\]

\noindent Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante,
wenn man den reellen Theil von $\beta $ negativ unendlich werden
l\"asst; im zweiten Falle erh\"alt das Integral von $0$ bis $x$
um $2\pi  i $verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch
complexe Werthe mit positivem oder negativem Arcus geschieht, und
wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient
von $i$ in dem Werthe von $\beta $ positive unendlich wird, auf
letzterem aber, wenn dieser Coefficient negative unendlich wird.
Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite $\log  (1-\frac{s}{\beta
})$ zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegf\"allt.

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck von $f( x)  $erh\"alt
man
\[
f( x) =Li( x) -\sum ^{\alpha }\left( Li( x^{\frac{1}{2}+\alpha i})
+Li( x^{\frac{1}{2}-\alpha i}) \right) +\operatorname*{\int }\limits_{x}^{\infty
}\frac{1}{x^{2}-1} \frac{dx}{x \log  x}+\log  \xi  \left( 0\right)
,
\]

\noindent wenn in $\overset{\alpha }{\sum }$ f\"ur $\alpha $ s\"ammtliche
positiven (oder einen positiven reellen Theil enthaltenden) Wurzeln
der Gleichung $\xi ( \alpha ) =0,$ ihrer Gr\"osse nach geordnet,
gesetzt werden. Es l\"asst sich, mit H\"ulfe einer genaueren Discussion
der Function $\xi $, leicht zeigen, dass bei dieser Anordnung der
Werth der Reihe
\[
\sum \left( Li( x^{\frac{1}{2}+\alpha i}) +Li( x^{\frac{1}{2}-\alpha
i}) \right) \log  x
\]

\noindent mit dem Grenzwerth, gegen welchen
\[
\frac{1}{2\pi i}\operatorname*{\int }\limits_{a-bi}^{a+bi}\frac{d\frac{1}{s}\sum
\log  \left( 1+\frac{\left( s-\frac{1}{2}\right) ^{2}}{\alpha \alpha
}\right) }{\textup{ds}}x^{s}ds
\]

\noindent bei unaufh\"orlichem Wachsen der Gr\"osse $b$ convergirt,
\"ubereinstimmt; durch ver\"anderte Anordnung aber w\"urde sie jeden
beliebigen reellen Werth erhalten k\"onnen.

Aus $f( x)  $findet sich $F( x)  $mittelst der durch Umkehrung der
Relation
\[
f( x) =\sum \frac{1}{n}F( \frac{1}{x^{n}}) 
\]

\noindent sich ergebenden Gleichung
\[
F( x) =\sum \left( -1\right) ^{\mu }\frac{1}{m}f( \frac{1}{x^{m}})
,
\]

\noindent worin f\"ur $m$ der Reihe nach die durch kein Quadrat
ausser $1$ theilbaren Zahlen zu setzen sind und $\mu $ die Anzahl
der Primfactoren von $m$ bezeichnet.

Beschr\"ankt man $\overset{\alpha }{\sum }$ auf eine endliche Zahl
von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks f\"ur $f( x)
$oder, bis auf einen mit wachsendem $x$ sehr schnell abnehmenden
Theil,
\[
\frac{1}{\log  x}-2\sum ^{\alpha }\frac{\cos ( \alpha  \log  x)
x^{-\frac{1}{2}}}{\log  x}
\]

\noindent einen angen\"aherten Ausdruck f\"ur die Dichtigkeit der
Primzahlen $+$ der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate $+ \frac{1}{3}$
von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Gr\"osse
$x$.

Die bekannte N\"aherungsformel $F( x) =L i( x) $ ist also nur bis
auf Gr\"ossen von der Ordnung $x^{\frac{1}{2}}$ richtig und giebt
einen etwas zu grossen Werth; denn die nicht periodischen Glieder
in dem Ausdrucke von $F( x) $ sind, von Gr\"ossen, die mit $x$ nicht
in's Unendliche wachsen, abgesehen:
\[
Li( x) - \frac{1}{2}Li( x^{\frac{1}{2}}) -\frac{1}{3}Li( x^{\frac{1}{3}})
-\frac{1}{5}Li( x^{\frac{1}{5}}) +\frac{1}{6}Li( x^{\frac{1}{6}})
-\frac{1}{7}Li( x^{\frac{1}{7}}) +\ldots 
\]

\noindent In der That hat sich bei der von Gauss und Goldschmidt
vorgenommenen und bis zu $x=$ drei Millionen fortgesetxten Vergleichung
von $L i (x) $mit der Anzahl der Primzahlen unter $x$ diese Anzahl
schon vom ersten Hunderttausend an stets kleiner als $L i (x)$ ergeben,
und zwar w\"achst die Differenz unter manchen Schwankungen allm\"ahlich
mit $x$. Aber auch die von den periodischen Gliedern abh\"angige
stellenweise Verdichtung und Verd\"unnung der Primzahlen hat schon
bei den Z\"ahlungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dass jedoch
hierin eine Gesetzm\"assigkeit bemerkt worden w\"are. Bei einer
etwaigen neuen Z\"ahlung w\"urde es interessant sein, den Einfluss
der einzelnen in dem Ausdrucke f\"ur die Dichtigkeit der Primzahlen
enthaltenen periodischen Glieder zu verfolgen. Einen regelm\"assigeren
Gang als $F( x)  $w\"urde die Function $f( x) $ zeigen, welche sich
schon im ersten Hundert sehr deutlich als mit $Li (x) + \log  \xi
(0)$ im Mittel \"ubereinstimmend erkennen l\"asst.\label{note:A}\label{note:two}

\end{document}
