Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.

Bernhard Riemann

(Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859)

Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dass ich von der hierdurch erhaltenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch das Interesse, welches Gauss und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint.

Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von Euler gemachte Bemerkung, dass das Product

\(TraditionalForm\`\(\(∏1\/\(1 - 1\/p\^s\) = ∑1\/n\^s\)\(,\)\)\)

(∫_0^∞) 
              (e^(-n x )) (x^(s-1 )) 
          dx = ((∏(s - 1))/(n^s))

\(TraditionalForm\`∏\((s - 1)\) \(ζ(
            s)\) = ∫\+0\%∞\(\( x\^\(s - 1\)\) d  x\)\/\(e\^x - \(\(1\)\(.\)\)\)\)

\(TraditionalForm\`∫\(\(\((\(-x\))\)\^\(s - 1\)\) d  x\)\/\(e\^x - 1\)\)

\(TraditionalForm\`\(\(\((e\^\(\(-π\) s  i\) - 
          e\^\(π  s  i\))\) \(∫\+0\%∞\(\( x\^\(s - 1\)\) d  x\)\/\(e\^x - 1\)\)\)\(,\)\)\)

\(TraditionalForm\`2  sin\ π  
        s\ \(∏\((s - 1)\) ζ\ \((s)\)\) = 
      i \(∫\+∞\%∞\(\(\((\(-x\))\)\^\(s - 1\)\) d  x\)\/\(e\^x - 1\)\)\)

Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function ζ(s) für jedes beliebige complexe s und zeigt, dass sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von s, ausser 1, endlich ist, so wie auch, dass sie verschwindet, wenn s gleich einer negativen geraden Zahl ist.

Wenn der reelle Theil von s negative ist, kann das Integral, s  t  a  t  t positiv um das angegebene Grössengebiet auch negativ um das Grössengebiet, welches sämmtliche übrigen complexen Grössen enthält, erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich grossem Modul dann unendlich klein ist. Im Innern dieses Grössengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn x gleich einem ganzen Vielfachen von + 2 m i wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen. Das Integral um den Werth n  2  π  i aber ist \(TraditionalForm\`\((\(=\)\((\(-\(n  2  π  i\)\))\))\)\^\(s - 1\)\ \((\(-2\) π\ i)\)\), man erhält daher

\(TraditionalForm\`\(\(2  sin\ π  
        s\ \(∏\((s - 
                1)\) ζ\ \((s)\)\) = \(\((2  π)\)\^s\) \(∑\(n\^\(s - 1\)\)(\((\(-i\))\)\^\(s - 1\) + i\^\(s - 1\))\)\)\(,\)\)\)

∏((s/2) - 
            1) (π^(-(s/2))) ζ (s)

Diese Eigenschaft der Function veranlasste mich statt ∏(s - 1) das Integral ∏((s/2) - 1) in dem allgemeinen Gliede der Reihe ∑(1/(n^s))einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function ζ(s) erhält. In der That hat man

\(TraditionalForm\`\(\(\(1\/n\^s\) \(∏\((s\/2 - 
                1)\)\ π\^\(-\(s\/2\)\)\) = \ ∫\+0\%∞\( e\^\(\(-n\) n  π  x\)\) \(x\^\(s\/2 - 1\)\) 
          d  x\)\(,\)\)\)

\(TraditionalForm\`∑\+1\%∞ e\^\(\(-n\) n  π  x\) = ψ(x)\)

∏((s/2) - 
              1) (π^(-(s/2))) ζ(
            s) = (∫_0^∞) ψ(
            x) (x^((s/2) - 1)) d  x,

2  φ(x) = (x^(((-1)/2)))(
        2  φ((1/x)) + 1),

∏((s/2) - 
              1) (π^(-(s/2))) ζ(
            s) = (∫_1^∞) ψ(
                x) (x^((s/2) - 1)) d  
              x + (∫_0^1) ψ((1/x)) (x^(((s - 3)/2))) 
              d  x + (1/2) (∫_0^1)((x^(((s - 3)/2))) - 
                    (x^((s/2) - 1))) d  x = 
        (1/(s(s - 1))) +  (∫_1^∞) ψ(
                x) ((x^((s/2) - 1)) + (x^(-((1 + s)/2)))) 
              d  x.

∏((s/2)) (s - 
              1) (π^(-(s/2))) ζ(s) = ξ(
        t),

ξ(t) = 
      (1/2) - (t  t + 
              (1/4)) (∫_1^∞) ψ(
                x) (x^(-(3/4))) cos((1/2) t log x) d  
              x

ξ(t) = 
      4 (∫_1^∞)(( 
                  d((x^((3/2))) (μ^′)(x)))/(d  
                  x)) (x^(-(1/4))) cos((1/2) t log x) 
            d  x.

\(TraditionalForm\`\(\(\(\(=\)\(\(T\/\(2  π\)\) 
            log \( \(T\)\(\ \)\)\/\(2  π\) - \(\(T\)\(\ \)\)\/\(2  π\)\)\);\)\(\ \)\)\)

Bezeichnet man durch α jede Wurzel der Gleichung ξ(α) = 0, so kann man log ξ(t) durch

∑log(1 - ((t  t)/α)α) +  
      log ξ(0)

Mit diesen Hülfsmitteln lässt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, bestimmen.

Es sei F(x), wenn x nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber x eine Primzahl ist, um (1/2)grösser, so dass für ein x, bei welchem F(x) sich sprungweise ändert,

F(x) = ((F(x + 0)  + F(x - 0))/2)

\(log\ \(ζ(
            s)\) = \(\(-\(∑log(
                1 - p\^\(-s\))\)\) = ∑p\^\(-s\) + \ \(1\/2\) \(∑p\^\(\(-2\) s\)\) + \ \(1\/3\) \(∑p\^\(\(-3\) s\)\) + …\)\)
(p^(-s)) 
            durch s (∫_p^∞) (x^(-s - 1)) d  
                x, (p^(-2 s)) 
            durch s (∫_((p^2))^∞) 
                    (x^(-s - 1)) dx, …,

\(TraditionalForm\`\(\(\(log\ \(ζ(s)\)\)\/s = ∫\+1\%∞\( f(x)\) \(x\^\(\(-s\) - 1\)\) d  x\)\(,\)\)\)

F(
        x)  +  (1/2) F((x^((1/2)))) + (1/3) F(
          (x^((1/3)))) + …

Diese Gleichnung ist gültig für jeden complexen Werth a+ bi von s, wenn a  >  1. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung

g(
        s) = (∫_0^∞) h(x) (x^(-s)) 
          d log x

g(a + b  i) = (Subscript[g, 1])(b) + 
        i  (Subscript[g, 2])(b),

(Subscript[g, 1])(
        b) = (∫_0^∞) h(x) (x^(-a)) 
          cos (b log x) d log x,

i  (Subscript[g, 2])(
          b) = -i (∫_0^∞) h(x) (x^(-a)) 
            sin (b log x) d log x.

(cos(b log y)  +  i sin (b log y)) 
      db

\(TraditionalForm\`\(\(2  π  
        i \( h(y)\) = ∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(g(s)\) \(y\^s\) d  s\)\(,\)\)\)

Das Integral stellt für einen Werth von y, bei welchen eine sprungweise Aenderung der Function h (y) stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function h zu beiden Seiten des Sprunges dar. Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function f(x) besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein

\(TraditionalForm\`f(
        y) = \(1\/\(2  π  
              i\)\) \(∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(\(log\ \(ζ(s)\)\)\/8\) \(y\^s\) d \( \(s\)\(.\)\)\)\)

(s/2) log π - log(s - 1) - 
      log ∏((s/2)) + (∑^α) log(
          1 + ((((s - (1/2)))^2)/α)α) + 
      log ξ(0)

\(TraditionalForm\`f(
        x) = \(-\(1\/\(2  π  
                i\)\)\) \(\(\(1\)\(\ \)\)\/\(log\ x\)\) \(∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(\(d  log\ \(ζ(s)\)\/s\)\/\(d  
                  s\)\) \(x\^s\) d  s\)\)

Da

-log ∏((s/2)) = 
      lim((Overscript[((∑_(n = 1))), n = m])log(1 + (s/(2  n))) - (s/2) 
            log m),

\(TraditionalForm\`\(\(\(-\(\(d \( 1\/s\) 
              log \(∏\((s\/2)\)\)\)\/\(d  
              s\)\)\) = \(∑\+1\)\&∞\( d \( 1\/s\) \(log(1 + s\/\(2  n\))\)\)\/\(d  s\)\)\(,\)\)\)

\(TraditionalForm\`\(1\/\(2  π  
              i\)\) \(\(\(1\)\(\ \)\)\/\(log\ x\)\) \(∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(1\/\(s  s\)\) 
            log\ \(ξ(0)\) \(x\^s\) ds\) = \(\(log\)\(\ \)\(ξ(
          0)\)\(\ \)\)\)

+(1/(2  π  
                i))((1 )/(log x))\(∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(\(d(\(1\/s\) 
                    log\ \((1 - s\/β)\))\)\/\(d  s\)\) \(x\^s\) 
            d \( \(s\)\(.\)\)\)

\(TraditionalForm\`\(d(\(1\/s\) log\ \((1 - s\/β)\))\)\/\(d  β\) = 1\/\(\((β - s)\) β\^′\)\)

\(TraditionalForm\`\(\(\(-\(1\/\(2  π  
                i\)\)\) \(∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(\(x\^s\) d  s\)\/\(\((β - s)\) β\)\) = \(x\^β\/β = ∫\+∞\%x\( x\^\(β - 1\)\) d  
            x\)\)\(,\)\)\)

=(∫_0^x) (x^(β - 1)) d  
          x,

\(\(1\/\(2  π  
              i\)\) \(\(\(1\)\(\ \)\)\/\(log\ x\)\) \(∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(\(d(\(1\/s\) 
                    log\ \((1 - s\/β)\))\)\/\(d  s\)\) \(x\^s\) ds\)\)
=\(\(-\(1\/\(2  π  
                    i\)\)\) \(∫\+\(a - ∞  i\)\%\(a + ∞  i\)\(1\/s\) log\ \((1 - s\/β)\) \(x\^s\) d  s\)\)=(∫_0^x) ((x^(β - 1))/(log x)) d  
                x+ const .  im ersten

=(∫_0^x) ((x^(β - 1))/(log x)) d  x+ const .  im zweiten Falle.

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck von f(x) erhält man

\(TraditionalForm\`\(\(f(x) = 
      L \( i(x)\) - ∑\^α\((L \( i(x\^\(1\/2 + α  i\))\) + 
              L \( i(x\^\(1\/2 - α  i\))\))\) + ∫\+x\%∞ 1\/\(x\^2 - 1\)\ \(d  x\)\/\(x\ log\ x\) + 
        log\ ξ\ \((0)\)\)\(,\)\)\)

∑(L  i((x^((1/2) + α  i))) + 
            L  i((x^((1/2) - α  i)))) log x

\(TraditionalForm\`\(1\/\(2  π  
            i\)\) \(∫\+\(a - b  i\)\%\(a + b  i\)\(\(d \( 
                    1\/s\) \(∑log\ \((1 + \((s - 1\/2)\)\^2\/αα)\)\)\)\/ds\) \(x\^s\) d  s\)\)

Aus f(x) findet sich F(x) mittelst der durch Umkehrung der Relation

f(x) = ∑(1/n) F((1/(x^n)))

F(
        x) = ∑(((-1))^μ) (1/m) f(
            (1/(x^m))),

Beschränkt man (∑^α) auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für f(x) oder, bis auf einen mit wachsendem x sehr schnell abnehmenden Theil,

\(TraditionalForm\`1\/\(log\ x\) - 
      2 \(∑\^α\(\( cos(α\ log\ x)\) x\^\(-\(1\/2\)\)\)\/\(log\ x\)\)\)

Die bekannte Näherungsformel F(x) = L i(x) ist also nur bis auf Grössen von der Ordnung (x^((1/2))) richtig und giebt einen etwas zu grossen Werth; denn die nicht periodischen Glieder in dem Ausdrucke von F(x) sind, von Grössen, die mit x nicht in’s Unendliche wachsen, abgesehen:

L  i(x) -  (1/2) 
        L  i((x^((1/2)))) - (1/3) L  i((x^((1/3)))) - (1/5) 
        L  i((x^((1/5)))) + (1/6) L  i((x^((1/6)))) - (1/7) 
        L  i((x^((1/7)))) + …